$\frac{7}{3 + \sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $a$、$b$ の値を求める。 (2) $a^2 - 8ab + 2b^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{7}{3 + \sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a$、$b$ の値を求める。

(2) $a^2 - 8ab + 2b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$、$b$ の値を求める。

まず、$\frac{7}{3 + \sqrt{2}}$ を有理化する。

$\frac{7}{3 + \sqrt{2}} = \frac{7(3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} = \frac{7(3 - \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{7(3 - \sqrt{2})}{7} = 3 - \sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ は約 1.414 であるから、

$3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.414 = 1.586$

したがって、$3 - \sqrt{2}$ の整数部分は 1 であるから、$a = 1$ となる。

小数部分 $b$ は、$b = (3 - \sqrt{2}) - a = 3 - \sqrt{2} - 1 = 2 - \sqrt{2}$ となる。

(2) $a^2 - 8ab + 2b^2$ の値を求める。

$a = 1$, $b = 2 - \sqrt{2}$ を $a^2 - 8ab + 2b^2$ に代入する。

$a^2 - 8ab + 2b^2 = 1^2 - 8(1)(2 - \sqrt{2}) + 2(2 - \sqrt{2})^2$

$= 1 - 16 + 8\sqrt{2} + 2(4 - 4\sqrt{2} + 2)$

$= -15 + 8\sqrt{2} + 2(6 - 4\sqrt{2})$

$= -15 + 8\sqrt{2} + 12 - 8\sqrt{2}$

$= -3$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = 2 - \sqrt{2}$

(2) $a^2 - 8ab + 2b^2 = -3$