数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、以下の2つのケースについて、$a_n$を求めます。 (1) $S_n = 2n+3$ (2) $S_n = 3(-2)^{n-1}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、以下の2つのケースについて、$a_n$を求めます。

(1) $S_n = 2n+3$

(2) $S_n = 3(-2)^{n-1}$

2. 解き方の手順

(1) $S_n = 2n+3$ の場合

$a_n$ は、 $n \geq 2$ のとき、 $a_n = S_n - S_{n-1}$ で求められます。

まず、$S_{n-1}$ を計算します。

$S_{n-1} = 2(n-1) + 3 = 2n - 2 + 3 = 2n + 1$

よって、 $n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n+3) - (2n+1) = 2$

次に、$a_1$ を求めます。 $a_1 = S_1$ なので、

$a_1 = S_1 = 2(1) + 3 = 5$

$a_n = 2$ は $n \geq 2$ の場合にのみ成立するので、$n=1$のときも成立するかどうかを確かめます。

$a_2=2$ですが、$a_1=5$なので、$a_n$は、$n \geq 2$の場合と$n=1$の場合で異なります。

したがって、$a_n$は以下のように表されます。

$a_1 = 5$

$a_n = 2$ ($n \geq 2$)

(2) $S_n = 3(-2)^{n-1}$ の場合

同様に、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ で求めます。

まず、$S_{n-1}$ を計算します。

$S_{n-1} = 3(-2)^{(n-1)-1} = 3(-2)^{n-2}$

よって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = 3(-2)^{n-1} - 3(-2)^{n-2} = 3(-2)^{n-2} (-2 - 1) = 3(-2)^{n-2} (-3) = -9(-2)^{n-2} = 9(-2)^{n-1}$

次に、$a_1$ を求めます。 $a_1 = S_1$ なので、

$a_1 = S_1 = 3(-2)^{1-1} = 3(-2)^0 = 3(1) = 3$

$a_n = 9(-2)^{n-2}$に$n=1$を代入すると、$9(-2)^{-1} = -9/2$となり、$a_1 = 3$とは一致しません。$a_n = 9(-2)^{n-1}$に$n=1$を代入すると、$-9$となり、$a_1 = 3$とは一致しません。

$a_1 = 3$

$a_n = 9(-2)^{n-1}$ ($n \geq 2$)

とすると$a_2=9(-2)^{1} = -18$であり、$a_1+a_2 = 3-18=-15$ですが、$S_2 = 3(-2) = -6$より一致しないので、計算をやり直します。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = 3(-2)^{n-1} - 3(-2)^{n-2} = 3(-2)^{n-2} (-2 - 1) = 3(-2)^{n-2} (-3) = -9(-2)^{n-2}$

$= -9(-2)^{n-2} = (-9) \cdot (-1)^{-2} 2^{n-2} = (-9) \cdot 2^{n-2}$

$a_1 = S_1 = 3(-2)^{1-1} = 3$

したがって、$a_n$は以下のように表されます。

$a_1 = 3$

$a_n = -9(-2)^{n-2}$ ($n \geq 2$)

最終的に $a_1 = S_1 = 3$ であり、$n \ge 2$ に対して $a_n = S_n - S_{n-1} = 3(-2)^{n-1} - 3(-2)^{n-2} = 3(-2)^{n-2}((-2)-1) = 3(-2)^{n-2}(-3) = -9(-2)^{n-2}$ である。これは $n \ge 2$ の場合にのみ定義される一般項である。

3. 最終的な答え

(1)

$a_1 = 5$

$a_n = 2$ ($n \geq 2$)

(2)

$a_1 = 3$

$a_n = -9(-2)^{n-2}$ ($n \geq 2$)