$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$ と $y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$ が与えられたとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3+y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$ と $y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$ が与えられたとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^3+y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の計算

$x+y = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} + \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$

通分して計算します。

$x+y = \frac{(\sqrt{6}-2)^2 + (\sqrt{6}+2)^2}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}$

分子を展開します。

$x+y = \frac{(6 - 4\sqrt{6} + 4) + (6 + 4\sqrt{6} + 4)}{6 - 4}$

$x+y = \frac{10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6}}{2}$

$x+y = \frac{20}{2} = 10$

(2) $xy$ の計算

$xy = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} \cdot \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$

$xy = 1$

(3) $x^2+y^2$ の計算

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

(1)と(2)の結果を使うと

$x^2+y^2 = (10)^2 - 2(1)$

$x^2+y^2 = 100 - 2 = 98$

(4) $x^3+y^3$ の計算

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

(1)と(2)の結果を使うと

$x^3+y^3 = (10)^3 - 3(1)(10)$

$x^3+y^3 = 1000 - 30 = 970$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 10$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 98$

(4) $x^3+y^3 = 970$