定義域 $1 \le x \le 4$ において、関数 $f(x) = ax^2 - 4ax + 2a + b$ の最大値が9、最小値が1であるとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定義域 $1 \le x \le 4$ において、関数 $f(x) = ax^2 - 4ax + 2a + b$ の最大値が9、最小値が1であるとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = a(x^2 - 4x) + 2a + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2a + b = a(x - 2)^2 - 4a + 2a + b = a(x - 2)^2 - 2a + b$

軸は $x = 2$ である。

$a > 0$ のとき、下に凸のグラフになる。定義域 $1 \le x \le 4$ の範囲において、$x = 2$ で最小値をとる。

$x = 2$ のとき、$f(2) = -2a + b = 1$

$x = 4$ のとき、$f(4) = a(4-2)^2 - 2a + b = 4a - 2a + b = 2a + b = 9$

$2a + b = 9$ と $-2a + b = 1$ の連立方程式を解く。

$4a = 8$ より、$a = 2$

$2(2) + b = 9$ より、$b = 5$

$a > 0$ を満たす。

$a < 0$ のとき、上に凸のグラフになる。定義域 $1 \le x \le 4$ の範囲において、$x = 2$ で最大値をとる。

$x = 2$ のとき、$f(2) = -2a + b = 9$

$x = 1$ または $x=4$ のとき、$f(1) = f(4)$ で最小値をとる。

$x = 1$ のとき、$f(1) = a(1 - 2)^2 - 2a + b = a - 2a + b = -a + b = 1$

$-2a + b = 9$ と $-a + b = 1$ の連立方程式を解く。

$-a = 8$ より、$a = -8$

$-(-8) + b = 1$ より、$b = -7$

$a < 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

$a > 0$ のとき、$a = 2, b = 5$

$a < 0$ のとき、$a = -8, b = -7$