数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が与えられたとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。 (1) $S_n = 2n+3$の場合と、(2) $S_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$の場合を考えます。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が与えられたとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。

(1) $S_n = 2n+3$の場合と、(2) $S_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$の場合を考えます。

2. 解き方の手順

(1) $S_n = 2n+3$ の場合：

$a_n$ は、 $n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

で求められます。$S_n$ に与えられた式を代入します。

$S_n = 2n+3$

$S_{n-1} = 2(n-1)+3 = 2n-2+3 = 2n+1$

したがって、

$a_n = (2n+3) - (2n+1) = 2$

$n=1$ のときは、$a_1 = S_1$ です。

$S_1 = 2(1)+3 = 5$

したがって、$a_1=5$となります。

$a_n = 2$の式に $n=1$ を代入すると $a_1 = 2$ ですが、$a_1 = 5$ と一致しません。

よって、$n=1$のときだけ別の式で表す必要があります。

以上より、

$a_1=5$

$a_n = 2 \quad (n \ge 2)$

(2) $S_n = 3(-2)^{n-1}$ の場合：

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$S_n = 3(-2)^{n-1}$

$S_{n-1} = 3(-2)^{(n-1)-1} = 3(-2)^{n-2}$

したがって、

$a_n = 3(-2)^{n-1} - 3(-2)^{n-2} = 3(-2)^{n-2}(-2-1) = 3(-2)^{n-2}(-3) = -9(-2)^{n-2} = 9(-2)^{n-2}(-1) = 9(-1)(-2)^{n-2} = (-9)(-2)^{n-2}$

$a_n = -9(-2)^{n-2} \quad (n \ge 2)$

$n=1$のとき、$a_1 = S_1$ です。

$S_1 = 3(-2)^{1-1} = 3(-2)^0 = 3(1) = 3$

$a_1 = 3$

$n=2$のとき上記の一般項に代入すると、$a_2 = -9(-2)^{2-2} = -9(-2)^0 = -9(1) = -9$

$a_2 = S_2-S_1=3(-2)^{2-1}-3(-2)^{1-1}=3(-2)-3(1) = -6-3 = -9$

これで、$a_2$の値は整合性が取れました。

上記の一般項に$n=1$を代入してみます。

$a_1 = -9(-2)^{1-2} = -9(-2)^{-1} = -9 \cdot \frac{-1}{2} = \frac{9}{2}$

これは $a_1=3$ と異なるため、場合分けが必要です。

$n \ge 2$ で求めた一般項を$n=1$のときに適用できるかを確かめるために、一般項を少し変形します。

$a_n = -9(-2)^{n-2}$

$= -9(-2)^{(n-1)-1}$

$= (-9) \frac{1}{-2}(-2)^{n-1}$

$= \frac{9}{2}(-2)^{n-1}$

もしこの式が$n=1$でも成立すると仮定すると

$a_1 = \frac{9}{2} (-2)^{1-1} = \frac{9}{2}(1) = \frac{9}{2}$

$a_1=3$と異なるのでやはり場合分けが必要です。

以上より、

$a_1=3$

$a_n = -9(-2)^{n-2} \quad (n \ge 2)$

または

$a_1 = 3$

$a_n = \frac{9}{2}(-2)^{n-1} \quad (n \ge 2)$

3. 最終的な答え

(1)

$a_1=5$

$a_n = 2 \quad (n \ge 2)$

(2)

$a_1=3$

$a_n = -9(-2)^{n-2} \quad (n \ge 2)$

または

$a_1 = 3$

$a_n = \frac{9}{2}(-2)^{n-1} \quad (n \ge 2)$