整式 $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 10$ が $x+1$, $x-2$, $x+3$ のうち、どれを因数にもつか判定する。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 10$ が $x+1$, $x-2$, $x+3$ のうち、どれを因数にもつか判定する。

2. 解き方の手順

因数定理を利用する。

$P(x)$ が $x-a$ を因数に持つための必要十分条件は $P(a) = 0$ である。

それぞれの候補について $P(a)$ を計算する。

(1) $x+1$ の場合、$a = -1$ なので、

$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 5(-1) + 10 = -1 - 2 + 5 + 10 = 12 \neq 0$

よって、$x+1$ は $P(x)$ の因数ではない。

(2) $x-2$ の場合、$a = 2$ なので、

$P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 5(2) + 10 = 8 - 8 - 10 + 10 = 0$

よって、$x-2$ は $P(x)$ の因数である。

(3) $x+3$ の場合、$a = -3$ なので、

$P(-3) = (-3)^3 - 2(-3)^2 - 5(-3) + 10 = -27 - 18 + 15 + 10 = -20 \neq 0$

よって、$x+3$ は $P(x)$ の因数ではない。

3. 最終的な答え

$x-2$