x, y は実数とする。以下の(1), (2), (3)について、それぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに該当するか答えよ。 (1) $\triangle ABC$ が正三角形であることは、$\triangle ABC$ が二等辺三角形であるための何か。 (2) $x < 3$ は $-1 < x < 1$ であるための何か。 (3) $|x| = |y|$ は $x^2 = y^2$ であるための何か。

1. 問題の内容

x, y は実数とする。以下の(1), (2), (3)について、それぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに該当するか答えよ。

(1) $\triangle ABC$ が正三角形であることは、$\triangle ABC$ が二等辺三角形であるための何か。

(2) $x < 3$ は $-1 < x < 1$ であるための何か。

(3) $|x| = |y|$ は $x^2 = y^2$ であるための何か。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABC$ が正三角形 $\Rightarrow$ $\triangle ABC$ は二等辺三角形（真）

$\triangle ABC$ が二等辺三角形 $\Rightarrow$ $\triangle ABC$ は正三角形（偽、例えば$AB=AC \ne BC$）

よって、正三角形であることは、二等辺三角形であるための十分条件であるが必要条件ではない。

(2)

$x < 3$ $\Rightarrow$ $-1 < x < 1$ （偽、例えば $x = 2$）

$-1 < x < 1$ $\Rightarrow$ $x < 3$ （真）

よって、$x<3$ は、$-1 < x < 1$ であるための必要条件であるが十分条件ではない。

(3)

$|x| = |y|$ $\Rightarrow$ $x^2 = y^2$

両辺を2乗すると、$x^2 = y^2$

$x^2 = y^2$ $\Rightarrow$ $|x| = |y|$

$x^2 = y^2$ より、$x^2 - y^2 = 0$

$(x-y)(x+y) = 0$

よって、$x=y$ または $x = -y$

$|x|=|y|$ より、$x=y$ または $x = -y$

よって、$|x|=|y|$ $\Leftrightarrow$ $x^2=y^2$は同値である。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが必要条件ではない

(2) 必要条件であるが十分条件ではない

(3) 必要十分条件である