与えられた数列 $\{a_n\}$: $2, 3, 1, 5, -3, 13, \dots$ の階差数列を求め、それを利用して一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: $2, 3, 1, 5, -3, 13, \dots$ の階差数列を求め、それを利用して一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求める。階差数列とは、隣り合う項の差を並べた数列のことである。

与えられた数列の階差数列 $b_n$ は次のようになる。

$b_1 = 3-2 = 1$

$b_2 = 1-3 = -2$

$b_3 = 5-1 = 4$

$b_4 = -3-5 = -8$

$b_5 = 13-(-3) = 16$

したがって、階差数列は $1, -2, 4, -8, 16, \dots$ となる。

この階差数列は、初項が $1$ で公比が $-2$ の等比数列である。つまり、$b_n = (-2)^{n-1}$ である。

次に、階差数列を用いて一般項 $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$

等比数列の和の公式を用いると、

$\sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1} = \frac{1 - (-2)^{n-1}}{1 - (-2)} = \frac{1 - (-2)^{n-1}}{3}$

したがって、

$a_n = 2 + \frac{1 - (-2)^{n-1}}{3} = \frac{6 + 1 - (-2)^{n-1}}{3} = \frac{7 - (-2)^{n-1}}{3}$

これは $n \ge 2$ のとき成り立つ。

$n=1$ のとき、 $a_1 = \frac{7 - (-2)^{1-1}}{3} = \frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$ となり、 $a_1 = 2$ であるから、$n=1$ のときも成り立つ。

よって、一般項 $a_n$ は

$a_n = \frac{7 - (-2)^{n-1}}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{7 - (-2)^{n-1}}{3}$