与えられた式を計算して簡単にします。 与えられた式は $\frac{2a^2}{4a^2-1} + \frac{a-1}{1-2a}$ です。

代数学分数式の計算因数分解通分式の簡約化
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。
与えられた式は 2a24a21+a112a\frac{2a^2}{4a^2-1} + \frac{a-1}{1-2a} です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。
4a21=(2a1)(2a+1)4a^2 - 1 = (2a-1)(2a+1)
よって、与えられた式は
2a2(2a1)(2a+1)+a112a\frac{2a^2}{(2a-1)(2a+1)} + \frac{a-1}{1-2a}
となります。
ここで、a112a=a1(2a1)=a12a1\frac{a-1}{1-2a} = \frac{a-1}{-(2a-1)} = -\frac{a-1}{2a-1}
したがって、与えられた式は
2a2(2a1)(2a+1)a12a1\frac{2a^2}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{a-1}{2a-1}
と書き換えられます。
通分して計算します。
2a2(2a1)(2a+1)(a1)(2a+1)(2a1)(2a+1)=2a2(2a2+a2a1)(2a1)(2a+1)=2a2(2a2a1)(2a1)(2a+1)=2a22a2+a+1(2a1)(2a+1)=a+1(2a1)(2a+1)\frac{2a^2}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{(a-1)(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2 - (2a^2 + a - 2a - 1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2 - (2a^2 - a - 1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2 - 2a^2 + a + 1}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{a+1}{(2a-1)(2a+1)}
分母を元に戻すと、
a+14a21\frac{a+1}{4a^2-1}

3. 最終的な答え

a+14a21\frac{a+1}{4a^2-1}

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