与えられた2次方程式 $3x^2 - 4x - 1 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $3x^2 - 4x - 1 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

この2次方程式は因数分解できないため、解の公式を使用する。

解の公式は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものである。

与えられた方程式 $3x^2 - 4x - 1 = 0$ において、

$a = 3$, $b = -4$, $c = -1$ である。

これらの値を解の公式に代入する。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}$

$\sqrt{28}$ を簡略化する。$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$。

したがって、

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6}$

分子と分母を2で割る。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$, $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$