$\omega$ を $1$ の虚数立方根とするとき、$\omega^{2n} + \omega^n + 1$ の値を求める。ただし、$n$ は正の整数とする。

1. 問題の内容

$\omega$ を $1$ の虚数立方根とするとき、$\omega^{2n} + \omega^n + 1$ の値を求める。ただし、$n$ は正の整数とする。

2. 解き方の手順

$\omega$ は $1$ の虚数立方根であるから、$\omega^3 = 1$ および $1 + \omega + \omega^2 = 0$ が成り立つ。

正の整数 $n$ を $3$ で割った余りを考える。$n = 3k, 3k+1, 3k+2$ （$k$ は $0$ 以上の整数）のいずれかの形で表せる。

(i) $n = 3k$ のとき、

$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{6k} + \omega^{3k} + 1 = (\omega^3)^{2k} + (\omega^3)^k + 1 = 1^{2k} + 1^k + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

(ii) $n = 3k+1$ のとき、

$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{6k+2} + \omega^{3k+1} + 1 = \omega^{6k} \omega^2 + \omega^{3k} \omega + 1 = (\omega^3)^{2k} \omega^2 + (\omega^3)^k \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

(iii) $n = 3k+2$ のとき、

$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{6k+4} + \omega^{3k+2} + 1 = \omega^{6k} \omega^4 + \omega^{3k} \omega^2 + 1 = (\omega^3)^{2k} \omega^4 + (\omega^3)^k \omega^2 + 1 = \omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega^3 \omega + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$

したがって、$n$ を $3$ で割った余りが $0$ のとき $\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 3$ であり、$n$ を $3$ で割った余りが $1$ または $2$ のとき $\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 0$ である。

3. 最終的な答え

$n$ が $3$ の倍数のとき $3$

$n$ が $3$ の倍数でないとき $0$