実数 $x$, $a$, $b$ に関する以下の命題の逆を述べ、その真偽を調べる。 (1) $x = 1 \Rightarrow x^2 = 1$ (2) $a + b > 0 \Rightarrow a > 0$ または $b > 0$ (3) $a + b = 7 \Rightarrow a = 3$ かつ $b = 4$

## 基本93

1. 問題の内容

実数 $x$, $a$, $b$ に関する以下の命題の逆を述べ、その真偽を調べる。

(1) $x = 1 \Rightarrow x^2 = 1$

(2) $a + b > 0 \Rightarrow a > 0$ または $b > 0$

(3) $a + b = 7 \Rightarrow a = 3$ かつ $b = 4$

2. 解き方の手順

(1)

* 逆: $x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$

* 真偽: 偽。$x = -1$ のとき $x^2 = 1$ だが $x = 1$ ではない。

(2)

* 逆: $a > 0$ または $b > 0 \Rightarrow a + b > 0$

* 真偽: 偽。$a = -1$, $b = 2$ のとき $a > 0$ は成り立たないが $b > 0$ は成り立つ。このとき、$a+b=1>0$ となり、$a+b>0$を満たす。しかし、$a=-2, b=1$のとき、$a<0$ かつ $b>0$ であり、$a+b=-1<0$ となり、$a+b>0$ を満たさない。

(3)

* 逆: $a = 3$ かつ $b = 4 \Rightarrow a + b = 7$

* 真偽: 真。$a = 3$ かつ $b = 4$ ならば $a + b = 3 + 4 = 7$

3. 最終的な答え

(1) 逆: $x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$, 偽

(2) 逆: $a > 0$ または $b > 0 \Rightarrow a + b > 0$, 偽

(3) 逆: $a = 3$ かつ $b = 4 \Rightarrow a + b = 7$, 真

## 基本94

1. 問題の内容

自然数 $n$ および実数 $x$ に関する以下の命題の対偶を述べ、その真偽を調べる。

(1) $n$ は素数 $\Rightarrow$ $n$ は奇数

(2) $n$ は8の倍数 $\Rightarrow$ $n$ は4の倍数

(3) $x = 2 \Rightarrow x > 0$

(4) $x < 2 \Rightarrow x < 1$

2. 解き方の手順

(1)

* 対偶: $n$ が奇数でない $\Rightarrow$ $n$ は素数でない

言い換えると、$n$ が偶数 $\Rightarrow$ $n$ は素数でない。

* 真偽: 真。$n$ が偶数ならば $n = 2k$ (kは整数) と表せる。$n = 2$ のとき、$n$ は素数だが、$n = 4,6,8,...$ など2以外の偶数は2で割り切れるため素数ではない。したがって、この命題は真である。

(2)

* 対偶: $n$ は4の倍数でない $\Rightarrow$ $n$ は8の倍数でない

* 真偽: 真。$n$ が8の倍数ならば必ず4の倍数なので、その対偶も真となる。

(3)

* 対偶: $x \leq 0 \Rightarrow x \neq 2$

* 真偽: 真。 $x \leq 0$ ならば $x=2$ となることはない。

(4)

* 対偶: $x \geq 1 \Rightarrow x \geq 2$

* 真偽: 偽。 $x=1.5$ とすると $x \geq 1$ を満たすが、$x \geq 2$ は満たさない。

3. 最終的な答え

(1) 対偶: $n$ が偶数 $\Rightarrow$ $n$ は素数でない, 真

(2) 対偶: $n$ は4の倍数でない $\Rightarrow$ $n$ は8の倍数でない, 真

(3) 対偶: $x \leq 0 \Rightarrow x \neq 2$, 真

(4) 対偶: $x \geq 1 \Rightarrow x \geq 2$, 偽

## 基本95

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ に関する以下の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽も調べる。

(1) 2つの三角形が相似でないならば合同でない。

(2) $x \neq 4 \Rightarrow x^2 - x - 12 \neq 0$

(3) $x > 2$ かつ $y > 3 \Rightarrow xy > 6$

2. 解き方の手順

(1)

* 元の命題: 2つの三角形が相似でないならば合同でない。 偽

* 逆: 2つの三角形が合同でないならば相似でない。 偽

* 対偶: 2つの三角形が合同ならば相似である。 真

* 裏: 2つの三角形が相似ならば合同である。 偽

(2)

$x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$

* 元の命題: $x \neq 4 \Rightarrow x^2 - x - 12 \neq 0$

* 真偽: 偽 $x=-3$とすると、$x \neq 4$ だが、$x^2-x-12 = 9+3-12 = 0$ となり$x^2 - x - 12 \neq 0$を満たさない。

* 逆: $x^2 - x - 12 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$

* 真偽: 偽 $x=-3$とすると、$x^2-x-12 = 9+3-12 = 0$ となり、$x \neq 4$を満たさない。

* 対偶: $x^2 - x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$

* 真偽: 偽 $x=-3$とすると、$x^2-x-12 = 9+3-12 = 0$ となり、$x = 4$を満たさない。

* 裏: $x = 4 \Rightarrow x^2 - x - 12 = 0$

* 真偽: 真 $x=4$のとき$x^2-x-12=16-4-12=0$となり真である。

(3)

* 元の命題: $x > 2$ かつ $y > 3 \Rightarrow xy > 6$

* 真偽: 真 $x > 2$ かつ $y > 3$ ならば、$xy > 2 * 3 = 6$

* 逆: $xy > 6 \Rightarrow x > 2$ かつ $y > 3$

* 真偽: 偽 $x=1$, $y=7$ とすると、$xy=7>6$ だが、$x > 2$ かつ $y > 3$ は満たさない。

* 対偶: $xy \leq 6 \Rightarrow x \leq 2$ または $y \leq 3$

* 真偽: 真 元の命題が真なので、対偶も真。

* 裏: $x \leq 2$ または $y \leq 3 \Rightarrow xy \leq 6$

* 真偽: 偽 $x=1$, $y=7$ とすると、$x \leq 2$ または $y \leq 3$を満たすが、$xy=7>6$

3. 最終的な答え

(1) 元の命題: 偽, 逆: 偽, 対偶: 真, 裏: 偽

(2) 元の命題: 偽, 逆: 偽, 対偶: 偽, 裏: 真

(3) 元の命題: 真, 逆: 偽, 対偶: 真, 裏: 偽