与えられた式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ (2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ を因数分解します。

まず、$x$について整理します。

$x^2 + (3y + 2)x + (2y^2 + 5y - 3)$

定数項を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 3 = (2y - 1)(y + 3)$

よって、

$x^2 + (3y + 2)x + (2y - 1)(y + 3)$

$(x + (2y - 1))(x + (y + 3))$

展開して確認します。

$(x + 2y - 1)(x + y + 3) = x^2 + xy + 3x + 2xy + 2y^2 + 6y - x - y - 3 = x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$

よって、因数分解の結果は$(x + 2y - 1)(x + y + 3)$となります。

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を因数分解します。

$(x-1)(x-7)(x-3)(x-5) + 15$と並び替えます。

$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$

$x^2 - 8x = A$と置くと、

$(A + 7)(A + 15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120 = (A + 12)(A + 10)$

$A$を元に戻すと、

$(x^2 - 8x + 12)(x^2 - 8x + 10)$

$(x-2)(x-6)(x^2 - 8x + 10)$

$x^2 - 8x + 10$は因数分解できません。

3. 最終的な答え

(1) $(x + 2y - 1)(x + y + 3)$

(2) $(x-2)(x-6)(x^2 - 8x + 10)$