与えられた式 $a^2 + ab - 2a + b - 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + ab - 2a + b - 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、式を整理し、共通因子を見つけ出すか、または特定のパターン（例えば、平方完成や和と差の積など）を利用します。この問題では、$a$ について整理すると、

$a^2 + (b-2)a + (b-3)$

となります。この式を $(a+x)(a+y)$ の形に因数分解できると仮定すると、$x+y = b-2$ かつ $xy = b-3$ を満たす $x$ と $y$ を見つける必要があります。

$y = b-2 - x$ を $xy = b-3$ に代入すると、

$x(b-2-x) = b-3$

$bx - 2x - x^2 = b - 3$

$x^2 - bx + 2x + b - 3 = 0$

$x^2 - (b-2)x + (b-3) = 0$

これを $x$ について解くのは難しいので、別の方法を試します。

与えられた式を $b$ について整理すると、

$a^2 - 2a - 3 + ab + b$

$= a^2 - 2a - 3 + b(a+1)$

ここで、$a^2 - 2a - 3$ を因数分解すると、$(a-3)(a+1)$ となります。すると、

$(a-3)(a+1) + b(a+1)$

$=(a+1)(a-3+b)$

$=(a+1)(a+b-3)$

3. 最終的な答え

$(a+1)(a+b-3)$