数列 $a$, 21, $a^2$ が等差数列であるとき、$a$の値を求めよ。ただし、$a < 21$とする。

1. 問題の内容

数列 $a$, 21, $a^2$ が等差数列であるとき、$a$の値を求めよ。ただし、$a < 21$とする。

2. 解き方の手順

等差数列の性質として、連続する3項 $x, y, z$ が等差数列ならば、

$2y = x + z$

が成り立つ。

この問題では、$x = a, y = 21, z = a^2$ なので、

$2(21) = a + a^2$

$42 = a + a^2$

$a^2 + a - 42 = 0$

この2次方程式を解く。

$(a + 7)(a - 6) = 0$

$a = -7$ または $a = 6$

問題文に、$a < 21$ という条件があるので、$a = -7$ と $a = 6$ はどちらもこの条件を満たす。

しかし、等差数列として並んでいるのは $a, 21, a^2$ であり、$a < a^2$ となる必要がある。

もし $a = -7$ とすると、$a^2 = 49$。この場合、$-7 < 21 < 49$ となるので、条件を満たす。

もし $a = 6$ とすると、$a^2 = 36$。この場合、$6 < 21 < 36$ となるので、条件を満たす。

問題文の表記から、$a$ は2つ答えがあることが示唆される。

3. 最終的な答え

$a = -7, 6$