以下の7つの数学の問題を解く必要があります。 (1) 2次関数 $y=2x^2+4x-3$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) 2次関数 $y=2x^2$ のグラフをx軸方向に3, y軸方向に-4だけ平行移動させたグラフの式を求める。 (3) 2次関数 $y=-x^2+4x$ の最大値を求める。 (4) 2次関数 $y=3x^2-5x+1$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。 (5) 2次関数 $y=-2x^2+x-3$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。 (6) 2次不等式 $x^2-6x-16 \leq 0$ の解を求める。 (7) 2次不等式 $x^2+x-6 > 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

以下の7つの数学の問題を解く必要があります。

(1) 2次関数 $y=2x^2+4x-3$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) 2次関数 $y=2x^2$ のグラフをx軸方向に3, y軸方向に-4だけ平行移動させたグラフの式を求める。

(3) 2次関数 $y=-x^2+4x$ の最大値を求める。

(4) 2次関数 $y=3x^2-5x+1$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

(5) 2次関数 $y=-2x^2+x-3$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

(6) 2次不等式 $x^2-6x-16 \leq 0$ の解を求める。

(7) 2次不等式 $x^2+x-6 > 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y=2x^2+4x-3$ の頂点の座標を求める。

平方完成を行う。

$y = 2(x^2+2x)-3 = 2(x^2+2x+1-1)-3 = 2((x+1)^2-1)-3 = 2(x+1)^2 -2 -3 = 2(x+1)^2-5$

よって、頂点の座標は $(-1, -5)$

(2) 2次関数 $y=2x^2$ のグラフをx軸方向に3, y軸方向に-4だけ平行移動させたグラフの式を求める。

$x$ を $x-3$ に, $y$ を $y+4$ に置き換える。

$y+4=2(x-3)^2$

$y = 2(x-3)^2 - 4 = 2(x^2 -6x + 9) - 4 = 2x^2 -12x + 18 - 4 = 2x^2-12x+14$

(3) 2次関数 $y=-x^2+4x$ の最大値を求める。

平方完成を行う。

$y = -(x^2-4x) = -(x^2-4x+4-4) = -((x-2)^2-4) = -(x-2)^2 + 4$

よって、最大値は4。

(4) 2次関数 $y=3x^2-5x+1$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

判別式を計算する。

$D = (-5)^2 - 4(3)(1) = 25 - 12 = 13 > 0$

よって、共有点の個数は2個。

(5) 2次関数 $y=-2x^2+x-3$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

判別式を計算する。

$D = (1)^2 - 4(-2)(-3) = 1 - 24 = -23 < 0$

よって、共有点の個数は0個。

(6) 2次不等式 $x^2-6x-16 \leq 0$ の解を求める。

因数分解を行う。

$(x-8)(x+2) \leq 0$

$-2 \leq x \leq 8$

(7) 2次不等式 $x^2+x-6 > 0$ の解を求める。

因数分解を行う。

$(x+3)(x-2) > 0$

$x < -3$ または $x > 2$

3. 最終的な答え

(1) $(-1, -5)$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 14$

(3) $4$

(4) $2$

(5) $0$

(6) $-2 \leq x \leq 8$

(7) $x < -3$ または $x > 2$