問題は、与えられた3つの行列A, B, Cに対して、$n$乗を求めることです。 (1) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ (2) $B = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{bmatrix}$ (3) $C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた3つの行列A, B, Cに対して、$n$乗を求めることです。

(1) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $B = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{bmatrix}$

(3) $C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列Aのn乗を求める。

まず、$A^2$ を計算します。

$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

次に、$A^3$ を計算します。

$A^3 = A^2 A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

一般に、$A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 2^n - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ と推測できます。

数学的帰納法で証明します。

$n=1$ のとき、$A^1 = \begin{bmatrix} 2^1 & 2^1 - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ で正しいです。

$n=k$ のとき、$A^k = \begin{bmatrix} 2^k & 2^k - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ が正しいと仮定します。

$n=k+1$ のとき、$A^{k+1} = A^k A = \begin{bmatrix} 2^k & 2^k - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^{k+1} & 2^k + 2^k - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^{k+1} & 2^{k+1} - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、$A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 2^n - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ が正しいです。

(2) 行列Bのn乗を求める。

Bは対角行列なので、$B^n$も対角行列です。

$B^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & a^n & 0 \\ 0 & 0 & b^n \end{bmatrix}$

(3) 行列Cのn乗を求める。

$C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$C^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$C^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

$C^4 = C^3 C = C$

$C^5 = C^2$

$C^6 = C^3 = I$

したがって、$n$を3で割った余りが0のとき$C^n = I$、1のとき$C^n = C$、2のとき$C^n = C^2$となります。

$n = 3k$ のとき、$C^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$n = 3k+1$ のとき、$C^n = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$n = 3k+2$ のとき、$C^n = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 2^n - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $B^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & a^n & 0 \\ 0 & 0 & b^n \end{bmatrix}$

(3) $C^n = \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} & (n \equiv 0 \pmod{3}) \\ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} & (n \equiv 2 \pmod{3}) \end{cases}$