$m$ を整数とするとき、2次方程式 $x^2 - mx + 3m + 1 = 0$ が異なる2つの整数解をもつような $m$ のうち最小のものを求めよ。

1. 問題の内容

$m$ を整数とするとき、2次方程式 $x^2 - mx + 3m + 1 = 0$ が異なる2つの整数解をもつような $m$ のうち最小のものを求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 - mx + 3m + 1 = 0$ の2つの整数解を $\alpha, \beta$ (ただし $\alpha \neq \beta$) とすると、解と係数の関係より、

\begin{align*} \label{eq:1} \alpha + \beta &= m \\ \alpha \beta &= 3m + 1 \end{align*}

となる。

$\alpha + \beta = m$ を $\alpha \beta = 3m + 1$ に代入すると、

$$\alpha \beta = 3(\alpha + \beta) + 1$$

$$\alpha \beta - 3\alpha - 3\beta - 1 = 0$$

$$\alpha \beta - 3\alpha - 3\beta + 9 = 10$$

$$(\alpha - 3)(\beta - 3) = 10$$

$\alpha, \beta$ は整数なので、$\alpha - 3, \beta - 3$ も整数である。

$(\alpha - 3, \beta - 3)$ の組として考えられるものは、

$$(1, 10), (2, 5), (5, 2), (10, 1), (-1, -10), (-2, -5), (-5, -2), (-10, -1)$$

よって、$(\alpha, \beta)$ の組は

$$(4, 13), (5, 8), (8, 5), (13, 4), (2, -7), (1, -2), (-2, 1), (-7, 2)$$

このとき $m = \alpha + \beta$ であり、

$$m = 17, 13, 13, 17, -5, -1, -1, -5$$

$\alpha \neq \beta$ より、 $m = 17, 13, -5, -1$ 。

この中で最も小さい $m$ は $m = -5$ である。

このとき、2次方程式は $x^2 + 5x - 14 = 0$ となり、

$(x + 7)(x - 2) = 0$ より、 $x = -7, 2$ 。

3. 最終的な答え

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