与えられた3変数多項式 $x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3変数多項式 $x^3 + 3x^2y + zx^2 + 2xy^2 + 3xyz + 2zy^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与式を因数分解するために、まず $x$ について整理します。

$x^3 + (3y+z)x^2 + (2y^2+3yz)x + 2zy^2$

次に、$y$について整理すると、

$2(x+z)y^2 + (3x^2+3zx)y + (x^3+zx^2) = (2x+2z)y^2 + (3x^2+3xz)y + x^2(x+z)$

さらに、$y$ について整理した式を因数分解します。

$(x+z)(2y^2 + 3xy + x^2)$

ここで、$2y^2 + 3xy + x^2$ を因数分解すると、

$2y^2 + 2xy + xy + x^2 = 2y(y+x) + x(y+x) = (2y+x)(y+x) = (x+y)(x+2y)$

したがって、与式は

$(x+z)(x+y)(x+2y)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+y)(x+2y)(x+z)$