問題は、与えられた方程式を満たす整数の組の総数を求める問題です。具体的には、以下の3つの場合に分けて、非負整数解の個数を求めます。 * $x + y + z = 10$ の非負整数解の個数 * $x + y + z = 10$ の正整数解の個数 * $x + y + 4z = 10$ の非負整数解の個数

1. 問題の内容

問題は、与えられた方程式を満たす整数の組の総数を求める問題です。具体的には、以下の3つの場合に分けて、非負整数解の個数を求めます。

* $x + y + z = 10$ の非負整数解の個数

* $x + y + z = 10$ の正整数解の個数

* $x + y + 4z = 10$ の非負整数解の個数

2. 解き方の手順

(1) $x + y + z = 10$ の非負整数解の個数 (ア)

これは、10個の区別できないボールを3つの区別できる箱に入れる場合の数と同じです。重複組み合わせの公式を使います。

$_{n+r-1}C_{r-1}$

ここで、$n = 10$, $r = 3$ なので、

$_{10+3-1}C_{3-1} = _{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$

(2) $x + y + z = 10$ の正整数解の個数 (イ)

$x, y, z$ は正の整数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$ です。

$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とすると、$x', y', z' \ge 0$ であり、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 10$

$x' + y' + z' = 10 - 3 = 7$

この非負整数解の個数を求めます。

$_{7+3-1}C_{3-1} = _9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

(3) $x + y + 4z = 10$ の非負整数解の個数 (ウ)

$z$ の値で場合分けします。

* $z = 0$ のとき: $x + y = 10$. 非負整数解の個数は、$10 + 1 = 11$ 個。

* $z = 1$ のとき: $x + y = 10 - 4 = 6$. 非負整数解の個数は、$6 + 1 = 7$ 個。

* $z = 2$ のとき: $x + y = 10 - 8 = 2$. 非負整数解の個数は、$2 + 1 = 3$ 個。

$z \ge 3$ のとき、$4z \ge 12 > 10$ となり、$x + y + 4z = 10$ を満たす非負整数解は存在しません。

したがって、非負整数解の個数は、$11 + 7 + 3 = 21$ 個。

3. 最終的な答え

ア: 66

イ: 36

ウ: 21