$x$ の2次方程式 $x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$ が実数解を持つとき、すべての解が $0 \le x \le 2$ となるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 - 2ax - a^2 + 2a = 0$ が実数解を持つとき、すべての解が $0 \le x \le 2$ となるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2ax - a^2 + 2a$ とおく。

まず、判別式 $D$ を計算し、実数解を持つ条件を求める。

$D/4 = (-a)^2 - (-a^2 + 2a) = a^2 + a^2 - 2a = 2a^2 - 2a = 2a(a-1) \ge 0$

したがって、$a \le 0$ または $a \ge 1$ である。

次に、$f(x) = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると ($\alpha \le \beta$)、すべての解が $0 \le x \le 2$ となる条件は以下の通りである。

(i) $0 \le \alpha \le \beta \le 2$

(ii) 軸 $x = a$ が $0 \le a \le 2$ である。

(iii) $f(0) \ge 0$ かつ $f(2) \ge 0$

解の公式より、$x = a \pm \sqrt{2a^2 - 2a}$ である。したがって$\alpha = a - \sqrt{2a^2-2a}$, $\beta = a + \sqrt{2a^2-2a}$。

まず、$0 \le \alpha \le \beta \le 2$を考える。$0 \le a - \sqrt{2a^2-2a} \le a + \sqrt{2a^2-2a} \le 2$。

軸 $x = a$ について、$0 \le a \le 2$。

$f(0) = -a^2 + 2a \ge 0$ より、$a(a-2) \le 0$ なので、$0 \le a \le 2$。

$f(2) = 4 - 4a - a^2 + 2a = -a^2 - 2a + 4 \ge 0$ より、$a^2 + 2a - 4 \le 0$。

解の公式より、$-1-\sqrt{5} \le a \le -1+\sqrt{5}$。

以上より、

$a \le 0$ または $a \ge 1$

$0 \le a \le 2$

$-1-\sqrt{5} \le a \le -1+\sqrt{5}$

共通範囲を求めると、

$1 \le a \le -1+\sqrt{5}$. $\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$-1+\sqrt{5} \approx 1.236$.

したがって、$1 \le a \le -1+\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$