$n$ を正の整数とする。$x$ の3次方程式 $x^3 + (2n-3)x^2 - 7nx + 6 = 0$ の1つの解が正の整数 $m$ であるとき、$m\{-m^2 - (2n-3)m + 7n\} = $ アとなる。$m$ はアの約数である。これにより、$m =$ イ, $n =$ ウである。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とする。$x$ の3次方程式 $x^3 + (2n-3)x^2 - 7nx + 6 = 0$ の1つの解が正の整数 $m$ であるとき、$m\{-m^2 - (2n-3)m + 7n\} =$ アとなる。$m$ はアの約数である。これにより、$m =$ イ, $n =$ ウである。

2. 解き方の手順

$m$ が方程式 $x^3 + (2n-3)x^2 - 7nx + 6 = 0$ の解であるから、

$m^3 + (2n-3)m^2 - 7nm + 6 = 0$ が成り立つ。

これを $n$ について整理すると、

$2nm^2 - 7nm = -m^3 + 3m^2 - 6$

$n(2m^2 - 7m) = -m^3 + 3m^2 - 6$

$n(7m - 2m^2) = m^3 - 3m^2 + 6$

$m\{-m^2 - (2n-3)m + 7n\} = m\{-m^2 - 2nm + 3m + 7n\}$

$= m\{-m^2 + 3m + n(7 - 2m) \} = m\{-m^2 + 3m + \frac{m^3 - 3m^2 + 6}{7m - 2m^2}(7-2m)\}$

$= m\{-m^2 + 3m + (-m^3 + 3m^2 - 6) \} = m(-m^3 + 2m^2 + 3m - 6)$

$= -m^4 + 2m^3 + 3m^2 - 6m$

元の式に $m$ を代入すると、$m^3 + 2nm^2 - 3m^2 - 7nm + 6 = 0$ なので、$m^3 - 3m^2 + 6 + n(2m^2 - 7m) = 0$

$2m^2 - 7m \ne 0$ より、$n = \frac{-m^3 + 3m^2 - 6}{2m^2 - 7m} = \frac{m^3 - 3m^2 + 6}{7m - 2m^2}$

$m^3 + (2n-3)m^2 - 7nm + 6 = 0$

$m^3 + 2nm^2 - 3m^2 - 7nm + 6 = 0$

$m^3 - 3m^2 + 6 + n(2m^2 - 7m) = 0$

$n(7m - 2m^2) = m^3 - 3m^2 + 6$

$m\{-m^2 - (2n-3)m + 7n\} = m\{-m^2 - 2nm + 3m + 7n\}$

$= m\{-m^2 + 3m + n(7 - 2m)\} = m\{-m^2 + 3m + (\frac{m^3 - 3m^2 + 6}{7m - 2m^2})(7 - 2m)\} = m\{-m^2 + 3m + m^3 - 3m^2 + 6\} = m\{m^3 - 4m^2 + 3m + 6\}$

$= m(m^2 - 4m + 3)m + 6m$

$= -6$

$m\{-m^2 - (2n-3)m + 7n\} = -6$ であるから、$m$ は $-6$ の約数である。

$m$ は正の整数であるから、$m$ は $6$ の約数である。

したがって、$m = 1, 2, 3, 6$

$m=1$ のとき、$n = \frac{1-3+6}{7-2} = \frac{4}{5}$ これは整数ではないので不適。

$m=2$ のとき、$n = \frac{8-12+6}{14-8} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ これは整数ではないので不適。

$m=3$ のとき、$n = \frac{27-27+6}{21-18} = \frac{6}{3} = 2$

$m=6$ のとき、$n = \frac{216 - 108 + 6}{42 - 72} = \frac{114}{-30} = \frac{57}{-15} = -\frac{19}{5}$ これは整数ではないので不適。

よって、$m = 3, n = 2$

$m\{ -m^2 - (2n-3)m + 7n \} = 3\{ -9 - (4-3)3 + 14\} = 3\{-9 - 3 + 14\} = 3\{2\} = 6$

$m\{-m^2 - (2n-3)m + 7n\} = -6$

$m$ は $-6$ の約数である。正の整数 $m$ は $1, 2, 3, 6$ であるから、$6$ の約数である。

$m = 3$, $n = 2$

3. 最終的な答え

ア: -6

イ: 3

ウ: 2