問題4は以下の2つの部分からなります。 (1) 0でない2つの複素数$\alpha$と$\beta$が等式 $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$を満たすとき、$\frac{\beta}{\alpha}$を極形式で表せ。ただし、偏角$\theta$の範囲は$-\pi < \theta \le \pi$とする。 (2) 複素数平面上の3点0, $\alpha$, $\beta$を頂点とする三角形の3つの角の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

問題4は以下の2つの部分からなります。

(1) 0でない2つの複素数$\alpha$と$\beta$が等式 $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$を満たすとき、$\frac{\beta}{\alpha}$を極形式で表せ。ただし、偏角$\theta$の範囲は$-\pi < \theta \le \pi$とする。

(2) 複素数平面上の3点0, $\alpha$, $\beta$を頂点とする三角形の3つの角の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$を$\alpha^2$で割る。$\alpha \neq 0$なので、割り算が可能です。

$4 - 2\frac{\beta}{\alpha} + (\frac{\beta}{\alpha})^2 = 0$

$x = \frac{\beta}{\alpha}$とおくと、$x^2 - 2x + 4 = 0$

この2次方程式を解くと、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$

$1 + i\sqrt{3}$を極形式で表すと、$2(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$

$1 - i\sqrt{3}$を極形式で表すと、$2(\cos{(-\frac{\pi}{3})} + i\sin{(-\frac{\pi}{3})})$

(2) 3点0, $\alpha$, $\beta$を頂点とする三角形の角の大きさを求めます。

$\frac{\beta}{\alpha}$は$\alpha$を原点を中心に回転させて$\beta$にする複素数です。したがって、$\angle \alpha O \beta$は$\frac{\beta}{\alpha}$の偏角の絶対値となります。

(1)の結果から、$\frac{\beta}{\alpha} = 1 \pm i\sqrt{3}$なので、偏角は$\frac{\pi}{3}$または$-\frac{\pi}{3}$。

したがって、$\angle \alpha O \beta = \frac{\pi}{3}$

$\frac{\beta}{\alpha} = 1 + i\sqrt{3} = 2(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$のとき、

$|\alpha| = 1$, $|\beta| = 2$と仮定しても一般性を失わない。このとき、$\alpha=1, \beta = 1 + i\sqrt{3}$とすると、$\alpha\beta$間の距離は、$|1 - (1+i\sqrt{3})| = |-i\sqrt{3}| = \sqrt{3}$。

余弦定理より、

$(\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2^2 - 2\cdot 1 \cdot 2 \cos{\angle O\alpha\beta}$

$3 = 1 + 4 - 4\cos{\angle O\alpha\beta}$

$-2 = -4\cos{\angle O\alpha\beta}$

$\cos{\angle O\alpha\beta} = \frac{1}{2}$

$\angle O\alpha\beta = \frac{\pi}{3}$

同様に、

$(\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2^2 - 2\cdot 1 \cdot 2 \cos{\angle O\beta\alpha}$

$3 = 1 + 4 - 4\cos{\angle O\beta\alpha}$

$-2 = -4\cos{\angle O\beta\alpha}$

$\cos{\angle O\beta\alpha} = \frac{1}{2}$

$\angle O\beta\alpha = \frac{\pi}{3}$

三角形の内角の和は$\pi$なので、

$\angle \alpha O \beta + \angle O\alpha\beta + \angle O\beta\alpha = \pi$

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$

3. 最終的な答え

(1) $2(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$または$2(\cos{(-\frac{\pi}{3})} + i\sin{(-\frac{\pi}{3})})$

(2) $\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$