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与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列を基本変形を用いて求める。

代数学行列逆行列基本変形
2025/6/16
## 問題3.10 (1) の解答

1. 問題の内容

与えられた行列 A=(15−24)A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} の逆行列を基本変形を用いて求める。

2. 解き方の手順

与えられた行列 AA に単位行列を並べた拡大行列を作成します。
(15∣10−24∣01)\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}
基本変形を用いて、左側の行列を単位行列に変形します。
まず、2行目を2倍して1行目に加えます。
(15∣10−24∣01)→R2→R2+2R1(15∣10014∣21)\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 14 & | & 2 & 1 \end{pmatrix}
次に、2行目を14で割ります。
(15∣10014∣21)→R2→114R2(15∣1001∣17114)\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 14 & | & 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \rightarrow \frac{1}{14}R_2} \begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}
次に、1行目から2行目の5倍を引きます。
(15∣1001∣17114)→R1→R1−5R2(10∣27−51401∣17114)\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \rightarrow R_1 - 5R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}
左側が単位行列になったので、右側の行列が逆行列となります。

3. 最終的な答え

A−1=(27−51417114)A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}
あるいは
A−1=114(4−521)A^{-1} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

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