与えられた4x4の行列式の値を因数分解すること。行列式は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式の値を因数分解すること。行列式は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

x & y & x & x \\

x & y & y & y \\

y & y & y & x \\

x & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式の計算を簡単にするために、行または列に関する操作を行います。

1. 第1列から第3列を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

0 & y & x & x \\

x-y & y & y & y \\

y-y & y & y & x \\

x-y & x & y & x

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

0 & y & x & x \\

x-y & y & y & y \\

0 & y & y & x \\

x-y & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

2. 第4列から第3列を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

0 & y & x & 0 \\

x-y & y & y & 0 \\

0 & y & y & x-y \\

x-y & x & y & x-y

\end{vmatrix}

$$

3. 行列式を計算するために、第1行で展開します。すると、

$$

(-1)^{1+2}y \begin{vmatrix}

x-y & y & 0 \\

0 & y & x-y \\

x-y & y & x-y

\end{vmatrix}

+

(-1)^{1+3}x \begin{vmatrix}

x-y & y & 0 \\

0 & y & x-y \\

x-y & x & x-y

\end{vmatrix}

$$

4. それぞれの3x3行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

x-y & y & 0 \\

0 & y & x-y \\

x-y & y & x-y

\end{vmatrix} = (x-y)

\begin{vmatrix}

y & x-y \\

y & x-y

\end{vmatrix} - y

\begin{vmatrix}

0 & x-y \\

x-y & x-y

\end{vmatrix} = 0 - y(-1(x-y)^2) = y(x-y)^2

$$

$$

\begin{vmatrix}

x-y & y & 0 \\

0 & y & x-y \\

x-y & x & x-y

\end{vmatrix} = (x-y)

\begin{vmatrix}

y & x-y \\

x & x-y

\end{vmatrix} - y

\begin{vmatrix}

0 & x-y \\

x-y & x-y

\end{vmatrix} = (x-y)(y(x-y) - x(x-y)) - y(-1(x-y)^2) = (x-y)(x-y)(y-x) + y(x-y)^2 = -(x-y)^3 + y(x-y)^2 = (x-y)^2(-x+y+y) = (x-y)^2(2y-x)

$$

5. 最終的な行列式は

$$

-y(y(x-y)^2) + x(x-y)^2(2y-x) = -y^2(x-y)^2 + 2xy(x-y)^2 - x^2(x-y)^2 = (x-y)^2(-y^2 + 2xy - x^2) = -(x-y)^2(x-y)^2 = -(x-y)^4

$$

3. 最終的な答え

与えられた行列式の因数分解の結果は $-(x-y)^4$ です。

$-(x-y)^4$