与えられた問題は、指数関数、対数関数に関するグラフの形状の選択問題、指数法則に関する選択問題、指数方程式の解を求める問題、対数の性質に関する問題から構成されています。具体的には、以下の問題があります。 Q1: $y = a^x$ (a>1) のグラフの形状を選択する。 Q2: $y = a^x$ (0<a<1) のグラフの形状を選択する。 Q3: $y = e^x$ のグラフの形状を選択する。 Q4: $y = \ln{x}$ のグラフの形状を選択する。 Q5: 指数関数に関する等式の中から正しいものを選択する。 Q6: $e^x = 81$ かつ $e^y = 3$ のとき、$e^{x-y}$ を求める。 Q7: $e^x = 3$ かつ $e^y = 5$ のとき、$e^{x+3y}$ を求める。 Q8: $\ln(x^5y^3) = a\ln{x} + b\ln{y}$ が成立するとき、$a$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、指数関数、対数関数に関するグラフの形状の選択問題、指数法則に関する選択問題、指数方程式の解を求める問題、対数の性質に関する問題から構成されています。具体的には、以下の問題があります。

Q1: $y = a^x$ (a>1) のグラフの形状を選択する。

Q2: $y = a^x$ (0<a<1) のグラフの形状を選択する。

Q3: $y = e^x$ のグラフの形状を選択する。

Q4: $y = \ln{x}$ のグラフの形状を選択する。

Q5: 指数関数に関する等式の中から正しいものを選択する。

Q6: $e^x = 81$ かつ $e^y = 3$ のとき、$e^{x-y}$ を求める。

Q7: $e^x = 3$ かつ $e^y = 5$ のとき、$e^{x+3y}$ を求める。

Q8: $\ln(x^5y^3) = a\ln{x} + b\ln{y}$ が成立するとき、$a$ を求める。

2. 解き方の手順

Q1: $a>1$ のとき、指数関数 $y = a^x$ は右上がりの曲線になります。

Q2: $0<a<1$ のとき、指数関数 $y = a^x$ は右下がりの曲線になります。

Q3: $y = e^x$ は右上がりの曲線であり、座標(0,1)を通ります。

Q4: $y = \ln{x}$ は右上がりの曲線です。

Q5: 指数法則より、$e^{x+3y} = e^x (e^y)^3$ が正しいです。

Q6: $e^x = 81$ かつ $e^y = 3$ なので、$e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} = \frac{81}{3} = 27$ です。

Q7: $e^x = 3$ かつ $e^y = 5$ なので、$e^{x+3y} = e^x (e^y)^3 = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375$ です。

Q8: 対数の性質より、$\ln(x^5y^3) = \ln(x^5) + \ln(y^3) = 5\ln{x} + 3\ln{y}$。したがって、$a = 5$ です。

3. 最終的な答え

Q1: 右上がりの曲線

Q2: 右下がりの曲線

Q3: 座標(x,y) = (0,1) を通る

Q4: 右上がりの曲線

Q5: $e^{x+3y}=e^x(e^y)^3$

Q6: 27

Q7: 375

Q8: 5