次の等式の中で、適切なものを選ぶ問題です。ただし、$x, y$ は任意の数とします。 * $e^{x+y} = e^x + e^y$ * $e^{x-y} = e^x - e^y$ * $e^{x+3y} = e^x(e^y)^3$ * $e^{2x} = 2e^x$

## Q5

1. 問題の内容

次の等式の中で、適切なものを選ぶ問題です。ただし、$x, y$ は任意の数とします。

* $e^{x+y} = e^x + e^y$

* $e^{x-y} = e^x - e^y$

* $e^{x+3y} = e^x(e^y)^3$

* $e^{2x} = 2e^x$

2. 解き方の手順

指数法則を確認します。

* $e^{x+y} = e^x e^y$

* $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$

* $e^{x+3y} = e^x e^{3y} = e^x (e^y)^3$

* $e^{2x} = (e^x)^2$

3. 最終的な答え

3番目の選択肢 $e^{x+3y} = e^x(e^y)^3$ が正しいです。

## Q6

1. 問題の内容

$e^x = 81$ と $e^y = 3$ が成り立つような数 $x, y$ について、$e^{x-y}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$e^{x-y}$ は指数法則により $\frac{e^x}{e^y}$ となります。

$e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$

与えられた条件 $e^x = 81$ と $e^y = 3$ を代入します。

$e^{x-y} = \frac{81}{3} = 27$

3. 最終的な答え

$e^{x-y} = 27$

## Q7

1. 問題の内容

$e^x = 3$ と $e^y = 5$ が成り立つような数 $x, y$ について、$e^{x+3y}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$e^{x+3y}$ は指数法則により $e^x e^{3y} = e^x (e^y)^3$ となります。

$e^{x+3y} = e^x (e^y)^3$

与えられた条件 $e^x = 3$ と $e^y = 5$ を代入します。

$e^{x+3y} = 3 \times 5^3 = 3 \times 125 = 375$

3. 最終的な答え

$e^{x+3y} = 375$

## Q8

1. 問題の内容

任意の数 $x > 0, y > 0$ について、$\ln(x^5y^3) = a\ln x + b\ln y$ が成り立つとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

対数の性質 $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ と $\ln(x^n) = n\ln x$ を利用します。

$\ln(x^5y^3) = \ln(x^5) + \ln(y^3)$

$\ln(x^5) = 5\ln x$

$\ln(y^3) = 3\ln y$

したがって、$\ln(x^5y^3) = 5\ln x + 3\ln y$

これにより、$a = 5$ と $b = 3$ がわかります。

3. 最終的な答え

$a = 5$

## Q9

1. 問題の内容

Q8 の続きで、$b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

Q8 で $\ln(x^5y^3) = 5\ln x + 3\ln y$ を導き、$a = 5$ と $b = 3$ がわかりました。

3. 最終的な答え

$b = 3$

## Q10

1. 問題の内容

$\ln x = 7$ と $\ln y = 2$ が成り立つような数 $x, y$ について、$\ln(\frac{x}{y^2})$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

対数の性質 $\ln(\frac{x}{y}) = \ln x - \ln y$ と $\ln(x^n) = n\ln x$ を利用します。

$\ln(\frac{x}{y^2}) = \ln x - \ln(y^2)$

$\ln(y^2) = 2\ln y$

したがって、$\ln(\frac{x}{y^2}) = \ln x - 2\ln y$

与えられた条件 $\ln x = 7$ と $\ln y = 2$ を代入します。

$\ln(\frac{x}{y^2}) = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3$

3. 最終的な答え

$\ln(\frac{x}{y^2}) = 3$

## Q11

1. 問題の内容

$\ln x + 3\ln 25 = \ln(x^3)$ の解 $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

対数の性質 $\ln(x^n) = n\ln x$ を利用します。

$3\ln 25 = \ln(25^3)$

$\ln x + \ln(25^3) = \ln(x \times 25^3)$

したがって、$\ln(x \times 25^3) = \ln(x^3)$

対数の真数部分が等しいので、$x \times 25^3 = x^3$

$x^3 - 25^3 x = 0$

$x(x^2 - 25^3) = 0$

$x(x - 25^{3/2})(x + 25^{3/2}) = 0$

$x(x - 125)(x + 125) = 0$

$x = 0, x = 125, x = -125$

対数の真数条件より $x > 0$ なので、$x = 0$ と $x = -125$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

$x = 125$

## Q12

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 7\ln x^2 + \ln x^4$ とするとき、$f'(x) = 0$ を満たす $x$ を求める問題です。ただし、$x$ は正の値とします。

2. 解き方の手順

対数の性質 $\ln(x^n) = n\ln x$ を利用します。

$f(x) = -x^2 + 7(2\ln x) + 4\ln x = -x^2 + 14\ln x + 4\ln x = -x^2 + 18\ln x$

$f'(x) = -2x + \frac{18}{x}$

$f'(x) = 0$ より、 $-2x + \frac{18}{x} = 0$

$-2x^2 + 18 = 0$

$x^2 = 9$

$x = \pm 3$

$x > 0$ より、$x = 3$

3. 最終的な答え

$x = 3$

## Q13

1. 問題の内容

$f(x) = e^{2x+2} - 2e^{x+1}$ とするとき、$f'(x) = 0$ を満たす $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f'(x) = 2e^{2x+2} - 2e^{x+1}$

$f'(x) = 0$ より、$2e^{2x+2} - 2e^{x+1} = 0$

$e^{2x+2} = e^{x+1}$

$2x+2 = x+1$

$x = -1$

3. 最終的な答え

$x = -1$