与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ -2 & -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

1 & 3 & -1 & 4 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

-2 & -2 & 4 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行基本変形を用いて行列を簡略化します。

ステップ1：2行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

-2 & -2 & 4 & 1

\end{pmatrix}$

ステップ2：4行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}$

ステップ3：3行目を2倍します。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 2 & 4 & 2 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}$

この操作で行列式の値は変わりません。

ステップ4：3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 0 & 5 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 5

\end{pmatrix}$

ステップ5：3行目と4行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 0 & 4 & 5 \\

0 & 0 & 5 & 0

\end{pmatrix}$

この操作で行列式の符号が変わります。

ステップ6：4行目を$\frac{5}{4}$倍します。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 0 & 4 & 5 \\

0 & 0 & 4 & 0

\end{pmatrix}$

ステップ7：4行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 2 \\

0 & 0 & 4 & 5 \\

0 & 0 & 0 & -5

\end{pmatrix}$

これで上三角行列になりました。行列式は対角成分の積で与えられます。

ステップ8：対角成分の積を計算します。

行列式は $1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot (-5) = -40$ です。

ただし、３行目と4行目を入れ替えたので、行列式の符号を反転します。したがって、元の行列の行列式は40となります。

元の行列式は、

$1 \cdot (2 \cdot (5 \cdot 5 - 0 \cdot 4) - (-1) \cdot (1\cdot5-1\cdot4) + 2 \cdot (1\cdot0-1\cdot5)) = 1 \cdot(2\cdot 25 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-5))=50 + 1 -10=41$

この行列は正則ではないので、行列式は0ではありません。

ステップ9： 行列式の計算

行列式は

$1 \cdot (3 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 4) - (-1) \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 4) + 4 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2)) - 1 \cdot (1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 4) - (-1) \cdot (0 \cdot 1 - (-2) \cdot 4) + 4 \cdot (0 \cdot 1 - (-2) \cdot 2)) + 0 - 2 \cdot (1 \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot (-2)) - 3 \cdot (0 \cdot 4 - 2 \cdot (-2)) + (-1) \cdot (0 \cdot (-2) - 1 \cdot (-2))) = 1 \cdot (3 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot (-2) + 1 \cdot 8 + 4 \cdot 4) - 2 \cdot (1 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 2) = (-6 + 1 + 4) - (-2 + 8 + 16) - 2 \cdot (8 - 12 - 2) = -1 - 22 - 2 \cdot (-6) = -23 + 12 = -11$

したがって行列式は-11です。

3. 最終的な答え

-11