等比数列 $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

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2. (1)**

1. 問題の内容

等比数列 $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は、初項 $a = 1$、公比 $r = 2$ の等比数列です。等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ です。

この公式に $a = 1$ と $r = 2$ を代入します。

$S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2^n - 1}{1} = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

$2^n - 1$

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2. (2)**

1. 問題の内容

等比数列 $2 + \frac{4}{3} + \frac{8}{9} + \frac{16}{27} + \dots + \frac{2^n}{3^{n-1}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は、初項 $a = 2$、公比 $r = \frac{2}{3}$ の等比数列です。等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ です。

この公式に $a = 2$ と $r = \frac{2}{3}$ を代入します。

$S_n = \frac{2(1 - (\frac{2}{3})^n)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2(1 - (\frac{2}{3})^n)}{\frac{1}{3}} = 6(1 - (\frac{2}{3})^n)$

3. 最終的な答え

$6(1 - (\frac{2}{3})^n)$

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3. (1)**

1. 問題の内容

無限等比級数 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - \dots$ の収束、発散を調べ、収束すればその和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は、初項 $a = 1$、公比 $r = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ の等比数列です。

無限等比級数が収束するための条件は、 $|r| < 1$ です。

$|-\frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 < 1$ より、この級数は収束します。

無限等比級数の和の公式は、

$S = \frac{a}{1 - r}$ です。

この公式に $a = 1$ と $r = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入します。

$S = \frac{1}{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

分母を有理化します。

$\frac{2}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{2} = 2 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

収束し、和は $2 - \sqrt{2}$

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3. (2)**

1. 問題の内容

無限等比級数 $\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \dots$ の収束、発散を調べ、収束すればその和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は、初項 $a = \sqrt{3}$、公比 $r = \sqrt{3}$ の等比数列です。

無限等比級数が収束するための条件は、 $|r| < 1$ です。

$|\sqrt{3}| = \sqrt{3} \approx 1.732 > 1$ より、この級数は発散します。

3. 最終的な答え

発散する

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3. (3)**

1. 問題の内容

無限等比級数 $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ の収束、発散を調べ、収束すればその和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は、初項 $a = 1$、公比 $r = -1$ の等比数列です。

無限等比級数が収束するための条件は、 $|r| < 1$ です。

$|-1| = 1$ より、この級数は発散します。

3. 最終的な答え

発散する