SENSEI AI
About App

与えられた4x4の行列式を因数分解せよという問題です。行列式は次の通りです。 $\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$

代数学行列式因数分解線形代数行列式計算
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式を因数分解せよという問題です。行列式は次の通りです。
$\begin{vmatrix}
x & y & x & x \\
x & y & y & y \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関して展開することを考えます。しかし、計算を簡単にするために、まず行基本変形を使って行列の成分を簡略化することを試みます。
(1) 第2行から第1行を引く：R2→R2−R1R_2 \rightarrow R_2 - R_1
$\begin{vmatrix}
x & y & x & x \\
0 & 0 & y-x & y-x \\
y & y & y & x \\
x & x & y & x
\end{vmatrix}$
(2) 第4行から第1行を引く：R4→R4−R1R_4 \rightarrow R_4 - R_1
$\begin{vmatrix}
x & y & x & x \\
0 & 0 & y-x & y-x \\
y & y & y & x \\
0 & x-y & y-x & 0
\end{vmatrix}$
(3) 第3行から第1行を引く：R3→R3−R1R_3 \rightarrow R_3 - R_1
$\begin{vmatrix}
x & y & x & x \\
0 & 0 & y-x & y-x \\
y-x & y-x & 0 & 0 \\
0 & x-y & y-x & 0
\end{vmatrix}$
ここで、第1列に関して展開します。
x∣0y−xy−xx−y00x−yy−x0∣−(y−x)∣yxx0y−xy−xx−yy−x0∣x \begin{vmatrix} 0 & y-x & y-x \\ x-y & 0 & 0 \\ x-y & y-x & 0 \end{vmatrix} - (y-x) \begin{vmatrix} y & x & x \\ 0 & y-x & y-x \\ x-y & y-x & 0 \end{vmatrix}
最初の3x3行列式を展開すると、
0−(y−x)(0)+(y−x)[(x−y)(y−x)]=(y−x)2(x−y)=−(y−x)30 - (y-x)(0) + (y-x)[(x-y)(y-x)] = (y-x)^2 (x-y) = -(y-x)^3
2番目の3x3行列式を展開します:
y[(y−x)0−(y−x)(y−x)]−x[0−(y−x)(x−y)]+x[0−(x−y)0]=−y(y−x)2+x(y−x)(x−y)=−y(y−x)2−x(y−x)2=−(x+y)(y−x)2y[(y-x)0 - (y-x)(y-x)] - x[0-(y-x)(x-y)] + x[0-(x-y)0] = -y(y-x)^2 + x(y-x)(x-y) = -y(y-x)^2 - x(y-x)^2 = -(x+y)(y-x)^2
したがって、
x[−(y−x)3]−(y−x)[−(x+y)(y−x)2]=−x(y−x)3+(y−x)3(x+y)=(y−x)3(−x+x+y)=y(y−x)3=y(y3−3y2x+3yx2−x3)x[-(y-x)^3] - (y-x)[-(x+y)(y-x)^2] = -x(y-x)^3 + (y-x)^3(x+y) = (y-x)^3(-x+x+y) = y(y-x)^3 = y(y^3 -3y^2x+3yx^2-x^3)
したがって、与えられた行列式の因数分解の結果は y(y−x)3y(y-x)^3となります。

3. 最終的な答え

y(y−x)3y(y-x)^3

「代数学」の関連問題

2つの2次関数 $y = 2x^2 + 6x + 7$ (①) と $y = 2x^2 - 4x + 1$ (②) が与えられています。関数②のグラフを平行移動して関数①のグラフにするには、どのように...

二次関数平行移動平方完成グラフ
2025/6/16

与えられた二次関数 $y = -\sqrt{2}x^2 + \sqrt{3}x + 1$ の軸と頂点を求める問題です。

二次関数平方完成頂点軸
2025/6/16

問題は、分配法則のどちらか一方を証明することです。 一つ目は $(a+b) \times c = a \times c + b \times c$ が成り立つことを証明する。 二つ目は $a \tim...

分配法則代数証明
2025/6/16

(1) $(x^2 - 2x)^5$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めます。 (2) $(3x^2 + 1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求めます。

二項定理展開係数
2025/6/16

$z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$ が与えられたとき、以下の2つの値を求めます。 (1) $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z...

複素数ド・モアブルの定理等比数列の和複素数の計算
2025/6/16

$a_n = (\frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i)^{2n}$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求め、そのときの $a_n$ の値を求めよ。

複素数極形式ド・モアブルの定理
2025/6/16

与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の2つの関数について変形を行います。 (1) $y = -x^2 - 3x$ (2) $y = 3x...

二次関数平方完成関数の変形
2025/6/16

与えられた2次関数 $y = 3x^2 - 3x - 6$ を扱います。問題の指示がないため、ここでは、与えられた関数を因数分解することを考えます。

二次関数因数分解
2025/6/16

2次関数 $y = -x^2 - 3x$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する。

二次関数平方完成数式変形
2025/6/16

与えられた行列に関する方程式 $X \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \e...

線形代数行列逆行列行列の計算
2025/6/16