与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

x & y & x & x \\

x & y & y & y \\

y & y & y & x \\

x & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、行列式を計算しやすいように変形します。

第1列から第3列を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

x-x & y & x & x \\

x-y & y & y & y \\

y-y & y & y & x \\

x-y & x & y & x

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

0 & y & x & x \\

x-y & y & y & y \\

0 & y & y & x \\

x-y & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

第1行と第3行を入れ替えます。符号が変わります。

$$

-

\begin{vmatrix}

0 & y & y & x \\

x-y & y & y & y \\

0 & y & x & x \\

x-y & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

次に、第2列から第3列を引きます。

$$

-

\begin{vmatrix}

0 & y-y & y & x \\

x-y & y-y & y & y \\

0 & y-x & x & x \\

x-y & x-y & y & x

\end{vmatrix}

=

-

\begin{vmatrix}

0 & 0 & y & x \\

x-y & 0 & y & y \\

0 & y-x & x & x \\

x-y & x-y & y & x

\end{vmatrix}

$$

第1列に関して余因子展開をします。

$$

-( -(x-y) \begin{vmatrix}

0 & y & x \\

y-x & x & x \\

x-y & y & x

\end{vmatrix} )

= (x-y) \begin{vmatrix}

0 & y & x \\

y-x & x & x \\

x-y & y & x

\end{vmatrix}

$$

さらに行列式を展開します。

$$

(x-y) (0 - y( (y-x)x - x(x-y) ) + x( (y-x)y - x(x-y) ))

= (x-y) ( -y(xy - x^2 - x^2 +xy) + x(y^2 - xy -x^2 +xy))

= (x-y) ( -y(2xy - 2x^2) + x(y^2 -x^2) )

= (x-y) ( -2xy^2 + 2x^2y + xy^2 - x^3 )

= (x-y) ( -xy^2 + 2x^2y - x^3 )

= -x(x-y)(y^2 - 2xy + x^2)

= -x(x-y)(x-y)^2

= -x(x-y)^3

$$

3. 最終的な答え

$-x(x-y)^3$