2次関数 $y = x^2 - ax + 4$ について、定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値が0となるような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - ax + 4$ について、定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値が0となるような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 - ax + 4$ を平方完成する。

$y = (x - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + 4$

$y = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + 4$

軸は $x = \frac{a}{2}$ である。定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値が0となるのは、次の3つの場合が考えられる。

(i) 軸が定義域に含まれる場合：$0 \le \frac{a}{2} \le 1$ すなわち $0 \le a \le 2$ のとき

最小値は $x = \frac{a}{2}$ のときにとり、

$-\frac{a^2}{4} + 4 = 0$

$\frac{a^2}{4} = 4$

$a^2 = 16$

$a = \pm 4$

$0 \le a \le 2$ の条件より、不適。

(ii) 軸が定義域より左にある場合：$\frac{a}{2} < 0$ すなわち $a < 0$ のとき

最小値は $x = 0$ のときにとり、

$y = 0^2 - a \cdot 0 + 4 = 4 = 0$

これはありえない。

(iii) 軸が定義域より右にある場合：$\frac{a}{2} > 1$ すなわち $a > 2$ のとき

最小値は $x = 1$ のときにとり、

$y = 1^2 - a \cdot 1 + 4 = 1 - a + 4 = 5 - a = 0$

$a = 5$

$a > 2$ の条件を満たすので、これは適する。

3. 最終的な答え

$a = 5$