不等式 $x+a < 3x-2 < -x+10$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $x+a < 3x-2 < -x+10$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を2つの不等式に分解する。

$x+a < 3x-2$

$3x-2 < -x+10$

それぞれの不等式を解く。

一つ目の不等式：

$x+a < 3x-2$

$-2x < -a-2$

$2x > a+2$

$x > \frac{a+2}{2}$

二つ目の不等式：

$3x-2 < -x+10$

$4x < 12$

$x < 3$

したがって、与えられた不等式を満たす $x$ の範囲は $\frac{a+2}{2} < x < 3$ である。

問題文より、この範囲に整数 $x$ がちょうど5個存在する必要がある。

整数 $x$ は 2, 1, 0, -1, -2 である必要がある。

つまり、 $-3 \leq \frac{a+2}{2} < -2$ でなければならない。

$-3 \leq \frac{a+2}{2} < -2$

$-6 \leq a+2 < -4$

$-8 \leq a < -6$

3. 最終的な答え

$-8 \leq a < -6$