(1) $\log_2 a = 5$, $\log_2 b = 7$ のとき、$\log_2 ab$, $\log_a b^2$, $\log_2(a+b)$ を求めよ。 (2) $\log_{10} 2 = a$, $\log_{10} 3 = b$ とするとき、$\log_{10} 67.5$ の値を $a$, $b$ で表せ。

1. 問題の内容

(1) $\log_2 a = 5$, $\log_2 b = 7$ のとき、$\log_2 ab$, $\log_a b^2$, $\log_2(a+b)$ を求めよ。

(2) $\log_{10} 2 = a$, $\log_{10} 3 = b$ とするとき、$\log_{10} 67.5$ の値を $a$, $b$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\log_2 ab = \log_2 a + \log_2 b = 5 + 7 = 12$

$a = 2^5 = 32$ より、

$\log_a b^2 = 2 \log_a b = 2 \cdot \frac{\log_2 b}{\log_2 a} = 2 \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{5}$

$\log_2(a+b)$ について、$a = 2^5 = 32$, $b = 2^7 = 128$ より、

$a+b = 32 + 128 = 160 = 32 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$

$\log_2 (a+b) = \log_2 (2^5 \cdot 5) = \log_2 2^5 + \log_2 5 = 5 + \log_2 5$

(2)

$67.5 = \frac{675}{10} = \frac{135}{2} = \frac{5 \cdot 27}{2} = \frac{5 \cdot 3^3}{2} = \frac{10/2 \cdot 3^3}{2} = \frac{10 \cdot 3^3}{4} = \frac{10 \cdot 3^3}{2^2}$

$\log_{10} 67.5 = \log_{10} \frac{10 \cdot 3^3}{2^2} = \log_{10} 10 + \log_{10} 3^3 - \log_{10} 2^2$

$= 1 + 3 \log_{10} 3 - 2 \log_{10} 2 = 1 + 3b - 2a$

3. 最終的な答え

(1) $\log_2 ab = 12$

$\log_a b^2 = \frac{14}{5}$

$\log_2 (a+b) = 5 + \log_2 5$

(2) $\log_{10} 67.5 = 1 + 3b - 2a$