放物線 $y = 5x^2 + 3kx - 6k$ の頂点をPとする。定数 $k$ がすべての実数値をとるとき、点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 5x^2 + 3kx - 6k$ の頂点をPとする。定数 $k$ がすべての実数値をとるとき、点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線の式を平方完成して頂点の座標を $k$ を用いて表します。

$y = 5x^2 + 3kx - 6k = 5(x^2 + \frac{3}{5}kx) - 6k$

$y = 5(x + \frac{3}{10}k)^2 - 5(\frac{3}{10}k)^2 - 6k$

$y = 5(x + \frac{3}{10}k)^2 - \frac{9}{20}k^2 - 6k$

したがって、頂点Pの座標は $(-\frac{3}{10}k, -\frac{9}{20}k^2 - 6k)$ となります。

次に、頂点Pの座標を $(X, Y)$ とおくと、

$X = -\frac{3}{10}k$

$Y = -\frac{9}{20}k^2 - 6k$

$X$ と $Y$ の関係式を求めるために、$k$ を消去します。

$X = -\frac{3}{10}k$ より、$k = -\frac{10}{3}X$

この $k$ を $Y$ の式に代入します。

$Y = -\frac{9}{20}(-\frac{10}{3}X)^2 - 6(-\frac{10}{3}X)$

$Y = -\frac{9}{20}(\frac{100}{9}X^2) + 20X$

$Y = -\frac{5}{1}X^2 + 20X$

$Y = -5X^2 + 20X$

最後に、$X$ と $Y$ をそれぞれ $x$ と $y$ に置き換えます。

$y = -5x^2 + 20x$

$k$ はすべての実数値をとり得るので、$x$ もすべての実数値をとり得ます。

3. 最終的な答え

求める軌跡は、放物線 $y = -5x^2 + 20x$ である。