問題は、$\alpha, \beta, \gamma$ を 0 でない複素数とするとき、以下の3つの命題を示すことです。 (1) $\frac{\alpha}{\beta}$ が正の実数ならば、$|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ が成り立つことを示せ。 (2) $\gamma + \overline{\gamma} = 2|\gamma|$ が成り立つならば、$\gamma$ は正の実数であることを示せ。 (3) $|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ が成り立つならば、$\frac{\alpha}{\beta}$ は正の実数であることを示せ。

はい、承知しました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、$\alpha, \beta, \gamma$ を 0 でない複素数とするとき、以下の3つの命題を示すことです。

(1) $\frac{\alpha}{\beta}$ が正の実数ならば、$|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ が成り立つことを示せ。

(2) $\gamma + \overline{\gamma} = 2|\gamma|$ が成り立つならば、$\gamma$ は正の実数であることを示せ。

(3) $|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ が成り立つならば、$\frac{\alpha}{\beta}$ は正の実数であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\alpha}{\beta}$ が正の実数であるとき、ある正の実数 $k$ を用いて $\alpha = k\beta$ と表せる。

このとき、

$|\alpha + \beta| = |k\beta + \beta| = |(k+1)\beta| = |k+1||\beta| = (k+1)|\beta|$

$|\alpha| + |\beta| = |k\beta| + |\beta| = |k||\beta| + |\beta| = k|\beta| + |\beta| = (k+1)|\beta|$

よって、$|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ が成り立つ。

(2) $\gamma = a + bi$ ($a, b$ は実数) とおく。このとき、$\overline{\gamma} = a - bi$ である。

$\gamma + \overline{\gamma} = (a + bi) + (a - bi) = 2a$

また、$|\gamma| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\gamma + \overline{\gamma} = 2|\gamma|$ より、$2a = 2\sqrt{a^2 + b^2}$。したがって、$a = \sqrt{a^2 + b^2}$。

両辺を2乗すると、$a^2 = a^2 + b^2$ となり、$b^2 = 0$、つまり $b = 0$。

よって、$\gamma = a$ は実数である。

さらに、$a = \sqrt{a^2}$ であるから、$a = |a|$ となる。これは $a$ が正の実数であることを意味する。

(3) $|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ が成り立つとき、

$|\alpha + \beta|^2 = (|\alpha| + |\beta|)^2$

$(\alpha + \beta)(\overline{\alpha + \beta}) = (\alpha + \beta)(\overline{\alpha} + \overline{\beta}) = \alpha\overline{\alpha} + \alpha\overline{\beta} + \beta\overline{\alpha} + \beta\overline{\beta} = |\alpha|^2 + \alpha\overline{\beta} + \beta\overline{\alpha} + |\beta|^2$

$(|\alpha| + |\beta|)^2 = |\alpha|^2 + 2|\alpha||\beta| + |\beta|^2$

したがって、$|\alpha|^2 + \alpha\overline{\beta} + \beta\overline{\alpha} + |\beta|^2 = |\alpha|^2 + 2|\alpha||\beta| + |\beta|^2$

$\alpha\overline{\beta} + \beta\overline{\alpha} = 2|\alpha||\beta|$

$\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha\overline{\beta}} = 2|\alpha\overline{\beta}|$

$2Re(\alpha\overline{\beta}) = 2|\alpha\overline{\beta}|$

$Re(\alpha\overline{\beta}) = |\alpha\overline{\beta}|$

これは $\alpha\overline{\beta}$ が正の実数であることを意味する。

$\alpha\overline{\beta} > 0$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha\overline{\beta}}{\beta\overline{\beta}} = \frac{\alpha\overline{\beta}}{|\beta|^2}$

$\alpha\overline{\beta}$ は正の実数であり、$|\beta|^2$ は正の実数であるから、$\frac{\alpha}{\beta}$ は正の実数である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\alpha}{\beta}$ が正の実数ならば、$|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ が成り立つ。

(2) $\gamma + \overline{\gamma} = 2|\gamma|$ が成り立つならば、$\gamma$ は正の実数である。

(3) $|\alpha + \beta| = |\alpha| + |\beta|$ が成り立つならば、$\frac{\alpha}{\beta}$ は正の実数である。