$n$ を整数とし、小さい偶数を $2n$ とするとき、2つの続いた偶数 $2n$ と $2n+2$ について、大きい偶数の平方から小さい偶数の平方を引いた差が、はじめの2つの偶数の和の2倍に等しくなることを証明する。

1. 問題の内容

$n$ を整数とし、小さい偶数を $2n$ とするとき、2つの続いた偶数 $2n$ と $2n+2$ について、大きい偶数の平方から小さい偶数の平方を引いた差が、はじめの2つの偶数の和の2倍に等しくなることを証明する。

2. 解き方の手順

大きい偶数の平方から小さい偶数の平方を引いた差を計算し、それが2つの偶数の和の2倍に等しくなることを示す。

まず、$2n$ と $2n+2$ の平方の差を計算する。

$(2n+2)^2 - (2n)^2 = (4n^2 + 8n + 4) - 4n^2 = 8n + 4$

次に、はじめの2つの偶数の和の2倍を計算する。

$2[(2n) + (2n+2)] = 2(4n + 2) = 8n + 4$

上記より、$(2n+2)^2 - (2n)^2 = 8n+4 = 2[(2n) + (2n+2)]$ が成立する。

したがって、大きい偶数の平方から小さい偶数の平方を引いた差は、はじめの2つの偶数の和の2倍に等しいことが証明された。

3. 最終的な答え

2つの続いた偶数 $2n$ と $2n+2$ において、

大きい偶数の平方から小さい偶数の平方を引いた差 $(2n+2)^2 - (2n)^2$ は、

はじめの2つの偶数の和の2倍 $2(2n + 2n + 2)$ に等しい。