ベクトル $v_1, v_2, \dots, v_n$ をベクトル $u_1, u_2, \dots, u_m$ の線形結合として、行列を用いて表現する。問題は (a), (b), (c) の3つの部分から成る。

1. 問題の内容

ベクトル $v_1, v_2, \dots, v_n$ をベクトル $u_1, u_2, \dots, u_m$ の線形結合として、行列を用いて表現する。問題は (a), (b), (c) の3つの部分から成る。

2. 解き方の手順

ベクトル $v_i$ を $u_j$ の線形結合で表す式を、行列形式で表現する。各 $v_i$ は $u_1, u_2, \dots, u_m$ の係数を成分とする列ベクトルとして表され、それらを並べてできる行列が求める行列となる。

(a)

$v_1 = 2u_1 + u_2 - 3u_3$

$v_2 = u_1 - u_2 + u_3$

$v_3 = u_1 + 2u_2 + 4u_3$

これを行列で表すと、

$$

\begin{pmatrix}

v_1 \\ v_2 \\ v_3

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 \\

1 & -1 & 2 \\

-3 & 1 & 4

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

u_1 \\ u_2 \\ u_3

\end{pmatrix}

$$

従って、求める行列は

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 \\

1 & -1 & 2 \\

-3 & 1 & 4

\end{pmatrix}

$$

(b)

$v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3 - u_4$

$v_2 = u_1 - u_2 + 2u_3 + u_4$

$v_3 = u_1 - u_2 + u_3 - u_4$

$v_4 = 2u_1 + u_2 - 2u_3 - 3u_4$

これを行列で表すと、

$$

\begin{pmatrix}

v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 2 \\

1 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & 2 & 1 & -2 \\

-1 & 1 & -1 & -3

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4

\end{pmatrix}

$$

従って、求める行列は

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 2 \\

1 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & 2 & 1 & -2 \\

-1 & 1 & -1 & -3

\end{pmatrix}

$$

(c)

$v_1 = u_1 + u_2 - u_3 - 2u_5$

$v_2 = 2u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + u_5$

$v_3 = 2u_1 - u_3 + u_4 - 3u_5$

$v_4 = u_1 + u_2 - 3u_4 - 2u_5$

これを行列で表すと、

$$

\begin{pmatrix}

v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 2 & 1 \\

1 & -1 & 0 & 1 \\

-1 & 1 & -1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -3 \\

-2 & 1 & -3 & -2

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5

\end{pmatrix}

$$

従って、求める行列は

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 2 & 1 \\

1 & -1 & 0 & 1 \\

-1 & 1 & -1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -3 \\

-2 & 1 & -3 & -2

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

(a)

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 \\

1 & -1 & 2 \\

-3 & 1 & 4

\end{pmatrix}

$$

(b)

$$

\begin{pmatrix}

2 & 1 & 1 & 2 \\

1 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & 2 & 1 & -2 \\

-1 & 1 & -1 & -3

\end{pmatrix}

$$

(c)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 2 & 1 \\

1 & -1 & 0 & 1 \\

-1 & 1 & -1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -3 \\

-2 & 1 & -3 & -2

\end{pmatrix}

$$