方程式 $xy + 3x + 5y + 1 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$y$ の値が最も大きいものを求める。

1. 問題の内容

方程式 $xy + 3x + 5y + 1 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$y$ の値が最も大きいものを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形して、$x$ と $y$ の積の形を作る。

$xy + 3x + 5y + 1 = 0$

$x(y + 3) + 5y + 1 = 0$

$x(y + 3) + 5(y + 3) - 15 + 1 = 0$

$(x + 5)(y + 3) - 14 = 0$

$(x + 5)(y + 3) = 14$

ここで、$x$ と $y$ は整数なので、$x + 5$ と $y + 3$ も整数である。したがって、$x + 5$ と $y + 3$ は 14 の約数となる。

14 の約数は $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$ である。

$y$ の値が最大となるのは、$y + 3$ が最大となるときである。

$y + 3 = 14$ とすると、 $x + 5 = 1$ である。

このとき、$y = 11$ および $x = -4$ となる。

$y + 3 = 7$ とすると、 $x + 5 = 2$ である。

このとき、$y = 4$ および $x = -3$ となる。

$y + 3 = 2$ とすると、 $x + 5 = 7$ である。

このとき、$y = -1$ および $x = 2$ となる。

$y + 3 = 1$ とすると、 $x + 5 = 14$ である。

このとき、$y = -2$ および $x = 9$ となる。

$y + 3 = -1$ とすると、 $x + 5 = -14$ である。

このとき、$y = -4$ および $x = -19$ となる。

$y + 3 = -2$ とすると、 $x + 5 = -7$ である。

このとき、$y = -5$ および $x = -12$ となる。

$y + 3 = -7$ とすると、 $x + 5 = -2$ である。

このとき、$y = -10$ および $x = -7$ となる。

$y + 3 = -14$ とすると、 $x + 5 = -1$ である。

このとき、$y = -17$ および $x = -6$ となる。

したがって、$y$ の値が最も大きいのは $y = 11$ のときである。

3. 最終的な答え

$y = 11$