問題7では、与えられたベクトル $v_1, v_2, ..., v_n$ を、$u_1, u_2, ..., u_m$ の線形結合で表すことが求められています。問題8では、問題7で与えられた $u_1, u_2, ..., u_m$ が一次独立であるとき、$v_1, v_2, ..., v_n$ が一次独立か一次従属かを判定することが求められています。ここでは問題7の(a), (b), (c)を解きます。

1. 問題の内容

問題7では、与えられたベクトル $v_1, v_2, ..., v_n$ を、$u_1, u_2, ..., u_m$ の線形結合で表すことが求められています。問題8では、問題7で与えられた $u_1, u_2, ..., u_m$ が一次独立であるとき、$v_1, v_2, ..., v_n$ が一次独立か一次従属かを判定することが求められています。ここでは問題7の(a), (b), (c)を解きます。

2. 解き方の手順

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - 3u_3, v_2 = u_1 - u_2 + u_3, v_3 = u_1 + 2u_2 + 4u_3$

これらのベクトルを列ベクトルとして並べた行列を $A$ とすると、

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

$A$ の行列式を計算します。

$det(A) = 2(-4-2) - 1(4+3) + 1(1-3) = -12 - 7 - 2 = -21 \neq 0$

行列式が0でないので、$v_1, v_2, v_3$ は一次独立です。

(b) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3 - u_4, v_2 = u_1 - u_2 + 2u_3 + u_4, v_3 = u_1 - u_2 + u_3 - u_4, v_4 = 2u_1 + u_2 - 2u_3 - 3u_4$

これらのベクトルを列ベクトルとして並べた行列を $B$ とすると、

$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

$B$ の行列式を計算します。

$det(B) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & -1 & -3 \end{vmatrix}$

行列式の計算は複雑になるため、行基本変形によって階段行列に変形します。

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & -1 & -3 \end{vmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。3行目に1行目を足します。4行目に1行目を足します。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{vmatrix}$

2行目を3で割ります。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{vmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{vmatrix}$

4行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

行列式は 0 となります。したがって、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は一次従属です。

(c) $v_1 = u_1 + u_2 - u_3 - 2u_5, v_2 = 2u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + u_5, v_3 = 2u_1 - u_3 + u_4 - 3u_5, v_4 = u_1 + u_2 - 3u_4 - 2u_5$

これらのベクトルを列ベクトルとして並べた行列を $C$ とすると、

$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}$

行列 $C$ は 5x4 の行列なので、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は必ず一次従属になります。

3. 最終的な答え

(a) 一次独立

(b) 一次従属

(c) 一次従属