$x$ の方程式 $ax^2 - (2a-3)x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $ax^2 - (2a-3)x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は2次方程式なので、$a \neq 0$ である必要がある。

異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要がある。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられる。

この問題の場合、$a=a$, $b=-(2a-3)$, $c=a$ なので、

$D = (-(2a-3))^2 - 4(a)(a)$

$= (2a-3)^2 - 4a^2$

$= 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2$

$= -12a + 9$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ である必要があるので、

$-12a + 9 > 0$

$-12a > -9$

$12a < 9$

$a < \frac{9}{12}$

$a < \frac{3}{4}$

ただし、$a \neq 0$ である必要があるので、$a < \frac{3}{4}$ かつ $a \neq 0$ 。

3. 最終的な答え

$a < \frac{3}{4}$ かつ $a \neq 0$