2次方程式 $x^2 + 3x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$, $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$a = 1, b = 3, c = 5$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3$

$\alpha \beta = \frac{5}{1} = 5$

設問1: $\alpha + \beta = -3$

設問2: $\alpha \beta = 5$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ なので、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (-3)^2 - 2(5) = 9 - 10 = -1$

(2) $(\alpha - \beta)^2$ を求めます。

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta$

(1)の結果から $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ なので、

$(\alpha - \beta)^2 = -1 - 2(5) = -1 - 10 = -11$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ を求めます。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$

(1)の結果から $\alpha^2 + \beta^2 = -1$ なので、

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -1$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = -11$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = -\frac{1}{5}$