2次方程式 $x^2 + 3x + 5 - k = 0$ が虚数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

代数学二次方程式判別式虚数解不等式
2025/6/17
## 問題49:2次方程式が虚数解を持つ条件

1. 問題の内容

2次方程式 x2+3x+5k=0x^2 + 3x + 5 - k = 0 が虚数解を持つような定数 kk の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が虚数解を持つ条件は、判別式 DD が負であることです。
与えられた2次方程式 x2+3x+5k=0x^2 + 3x + 5 - k = 0 の判別式 DD を計算します。
判別式は D=b24acD = b^2 - 4ac で与えられます。この問題では、a=1,b=3,c=5ka = 1, b = 3, c = 5 - k です。
したがって、
D=3241(5k)D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - k)
D=920+4kD = 9 - 20 + 4k
D=4k11D = 4k - 11
2次方程式が虚数解を持つためには、D<0D < 0 である必要があります。
4k11<04k - 11 < 0
4k<114k < 11
k<114k < \frac{11}{4}

3. 最終的な答え

k<114k < \frac{11}{4}

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