2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{\beta^2}{\alpha}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta}$ を解とする2次方程式を1つ求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{\beta^2}{\alpha}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta}$ を解とする2次方程式を1つ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = 2$

次に、$\frac{\beta^2}{\alpha}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta}$ を解とする2次方程式を $x^2 - Ax + B = 0$ とおくと、解と係数の関係より、

$A = \frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta} = \frac{\beta^3 + \alpha^3}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)}{\alpha \beta}$

$B = \frac{\beta^2}{\alpha} \cdot \frac{\alpha^2}{\beta} = \alpha \beta$

$\alpha + \beta = 4$、$\alpha \beta = 2$ を代入して、

$A = \frac{4^3 - 3 \cdot 2 \cdot 4}{2} = \frac{64 - 24}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$B = 2$

したがって、求める2次方程式は、

$x^2 - 20x + 2 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 20x + 2 = 0$