2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha}$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を解とする2次方程式を1つ作成する。ただし、作成する2次方程式の係数はすべて整数とする。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha}$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を解とする2次方程式を1つ作成する。ただし、作成する2次方程式の係数はすべて整数とする。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

次に、$\frac{\beta}{\alpha}$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を解とする2次方程式を作るために、解の和 $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ と解の積 $\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{\beta}$ を計算する。

最後に、得られた和と積を使って、求める2次方程式を作る。

$x^2 - x - 5 = 0$ において、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 1$$

$$\alpha \beta = -5$$

次に、$\frac{\beta}{\alpha}$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ の和と積を計算する。

$$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{1^2 - 2(-5)}{-5} = \frac{1+10}{-5} = -\frac{11}{5}$$

$$\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{\beta} = 1$$

$\frac{\beta}{\alpha}$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を解とする2次方程式は、

$$x^2 - \left( \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} \right) x + \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{\beta} = 0$$

$$x^2 - \left( -\frac{11}{5} \right) x + 1 = 0$$

$$x^2 + \frac{11}{5} x + 1 = 0$$

係数を整数にするために、両辺に5を掛ける。

$$5x^2 + 11x + 5 = 0$$

3. 最終的な答え

$5x^2 + 11x + 5 = 0$