与えられた条件 $p = \log_a x$, $q = \log_a y$, $r = \log_a z$ を用いて、以下の3つの式を $p$, $q$, $r$ で表す問題です。 (1) $\log_a x^2 y^3 z$ (2) $\log_a \frac{x^3}{y^2 z}$ (3) $\log_a \frac{x\sqrt{z^3}}{a^2 y}$

1. 問題の内容

与えられた条件 $p = \log_a x$, $q = \log_a y$, $r = \log_a z$ を用いて、以下の3つの式を $p$, $q$, $r$ で表す問題です。

(1) $\log_a x^2 y^3 z$

(2) $\log_a \frac{x^3}{y^2 z}$

(3) $\log_a \frac{x\sqrt{z^3}}{a^2 y}$

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して、各式を分解し、$p$, $q$, $r$ で表します。

(1) $\log_a x^2 y^3 z$

$\log_a x^2 y^3 z = \log_a x^2 + \log_a y^3 + \log_a z$

$= 2 \log_a x + 3 \log_a y + \log_a z$

$= 2p + 3q + r$

(2) $\log_a \frac{x^3}{y^2 z}$

$\log_a \frac{x^3}{y^2 z} = \log_a x^3 - \log_a (y^2 z)$

$= \log_a x^3 - (\log_a y^2 + \log_a z)$

$= 3 \log_a x - 2 \log_a y - \log_a z$

$= 3p - 2q - r$

(3) $\log_a \frac{x\sqrt{z^3}}{a^2 y}$

$\log_a \frac{x\sqrt{z^3}}{a^2 y} = \log_a (x\sqrt{z^3}) - \log_a (a^2 y)$

$= \log_a x + \log_a \sqrt{z^3} - (\log_a a^2 + \log_a y)$

$= \log_a x + \log_a z^{\frac{3}{2}} - \log_a a^2 - \log_a y$

$= \log_a x + \frac{3}{2} \log_a z - 2 \log_a a - \log_a y$

$= \log_a x + \frac{3}{2} \log_a z - 2 - \log_a y$

$= p + \frac{3}{2} r - 2 - q$

$= p - q + \frac{3}{2}r - 2$

3. 最終的な答え

(1) $2p + 3q + r$

(2) $3p - 2q - r$

(3) $p - q + \frac{3}{2}r - 2$