問題は、一の位が0でない2桁の整数Aがあり、Aの十の位の数を $x$ 、一の位の数を $y$ とする。Aの一の位と十の位を入れ替えてできる2桁の数をBとし、Aの十の位の数と一の位の数の和をCとする。 (1) AとBをそれぞれ $x, y$ を使った式で表す。 (2) A+B+Cが12の倍数であることを説明する。

1. 問題の内容

問題は、一の位が0でない2桁の整数Aがあり、Aの十の位の数を $x$ 、一の位の数を $y$ とする。Aの一の位と十の位を入れ替えてできる2桁の数をBとし、Aの十の位の数と一の位の数の和をCとする。

(1) AとBをそれぞれ $x, y$ を使った式で表す。

(2) A+B+Cが12の倍数であることを説明する。

2. 解き方の手順

(1) Aは十の位が $x$ 、一の位が $y$ の2桁の整数なので、$A = 10x + y$ と表せる。

BはAの十の位と一の位を入れ替えた数なので、$B = 10y + x$ と表せる。

(2) CはAの十の位の数と一の位の数の和なので、$C = x + y$ と表せる。

A+B+Cを計算すると、

$A + B + C = (10x + y) + (10y + x) + (x + y) = 10x + y + 10y + x + x + y = 12x + 12y = 12(x+y)$

$x$ と $y$ は整数なので、$x+y$ も整数である。したがって、$12(x+y)$ は12の倍数である。

3. 最終的な答え

(1)

$A = 10x + y$

$B = 10y + x$

(2)

A+B+C = $(10x + y) + (10y + x) + (x + y) = 12x + 12y = 12(x+y)$

$x$ と $y$ は整数なので、$x+y$ も整数である。したがって、$12(x+y)$ は12の倍数である。