問題文は2つの命題に関する必要条件・十分条件の関係を問うものです。 (1) 「$|2a+1| > 1$」は「$a > 0$」であるための何条件か。 (2) 「$|a-1| < 2$」は「$1 < |a+2| < 5$」であるための何条件か。 選択肢は以下の通りです。 (1) 必要条件であるが、十分条件ではない (2) 十分条件であるが、必要条件ではない (3) 必要十分条件である (4) 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

問題文は2つの命題に関する必要条件・十分条件の関係を問うものです。

(1) 「$|2a+1| > 1$」は「$a > 0$」であるための何条件か。

(2) 「$|a-1| < 2$」は「$1 < |a+2| < 5$」であるための何条件か。

選択肢は以下の通りです。

(1) 必要条件であるが、十分条件ではない

(2) 十分条件であるが、必要条件ではない

(3) 必要十分条件である

(4) 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $|2a+1| > 1$ について、絶対値を外します。

$2a+1 > 1$ または $2a+1 < -1$

$2a > 0$ または $2a < -2$

$a > 0$ または $a < -1$

したがって、$|2a+1| > 1$ は $a > 0$ または $a < -1$ と同値です。

$a > 0$ ならば $|2a+1| > 1$ は成り立ちますが、$|2a+1| > 1$ であっても $a > 0$ とは限りません（例えば、$a = -2$）。

よって、$|2a+1| > 1$ は $a > 0$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

したがって、(1)の答えは1です。

(2) $|a-1| < 2$ について、絶対値を外します。

$-2 < a-1 < 2$

$-1 < a < 3$

$1 < |a+2| < 5$ について、絶対値を外します。

$1 < a+2 < 5$ または $-5 < a+2 < -1$

$-1 < a < 3$ または $-7 < a < -3$

したがって、$1 < |a+2| < 5$ は $-1 < a < 3$ または $-7 < a < -3$ と同値です。

$|a-1| < 2$ は $-1 < a < 3$ と同値なので、$|a-1| < 2$ ならば $1 < |a+2| < 5$ が成り立ちます。

しかし、$1 < |a+2| < 5$ であっても $|a-1| < 2$ とは限りません（例えば、$a = -4$）。

よって、$|a-1| < 2$ は $1 < |a+2| < 5$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

したがって、(2)の答えは2です。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2