関数 $y = x^2 - 2x + c$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値が 9 であるとき、定数 $c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x + c$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値が 9 であるとき、定数 $c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + c = (x^2 - 2x + 1) - 1 + c = (x - 1)^2 - 1 + c$

この関数の軸は $x = 1$ で、定義域 $0 \leq x \leq 3$ に含まれます。

したがって、頂点の座標は $(1, -1 + c)$ です。

次に、定義域の端点での関数の値を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 - 2(0) + c = c$

$x = 3$ のとき、$y = 3^2 - 2(3) + c = 9 - 6 + c = 3 + c$

軸 $x=1$ が定義域に含まれるため、最小値は頂点の $y$ 座標である $-1+c$ になります。最大値は軸から最も離れた $x=3$ で、$3+c$になります。

最大値が9であることから、

$3 + c = 9$

$c = 9 - 3 = 6$

3. 最終的な答え

$c = 6$