二次関数 $y = (x-3)^2 + 2$ の定義域が $1 \leq x \leq 4$ のとき、この関数の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

二次関数 $y = (x-3)^2 + 2$ の定義域が $1 \leq x \leq 4$ のとき、この関数の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた二次関数は $y = (x-3)^2 + 2$ である。この関数は、頂点が $(3, 2)$ の下に凸な放物線である。

定義域は $1 \leq x \leq 4$ である。

$x=3$ は定義域内にあるので、最小値は $x=3$ のときにとる。最小値は $y = (3-3)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$ である。

次に、最大値を求める。定義域の端点である $x=1$ と $x=4$ での $y$ の値を計算する。

$x=1$ のとき、$y = (1-3)^2 + 2 = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

$x=4$ のとき、$y = (4-3)^2 + 2 = (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

したがって、最大値は $x=1$ のときの $y=6$ である。

3. 最終的な答え

最大値6, 最小値2